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109學年度學科能力測驗試題
數學考科

第壹部分：選擇題（占65分）
一、單選題（占35分）
說明：第1題至第7題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1.已知兩個直角三角形三邊長分別為\(3\),\(4\),\(5\)、\(5\),\(12\),\(13\)， 分別為它們的一角，如下圖所示。試選出正確的選項。

(1) \(\sin \alpha >\sin \beta >\sin {30^\circ} \)
(2) \(\sin \alpha >\sin {30^\circ} >\sin \beta \)
(3) \(\sin \beta >\sin \alpha >\sin {30^\circ} \)
(4) \(\sin \beta >\sin {30^\circ} >\sin \alpha \)
(5) \(\sin 30{}^\circ >\sin \alpha >\sin \beta \)

2.空間中有相異四點 ，已知內積\(\vec {AB}\cdot\vec {AC}=\vec {AB}\cdot\vec {AD}\)。試選出正確的選項。
(1) \(\vec {AB}\cdot\vec {CD}=0\)
(2) \(\overline{AC}=\overline{AD}\)
(3) \(\vec {AB}\)與\(\vec {CD}\)平行
(4) \(\vec {AD}\cdot\vec {BC}=0\)
(5) \(A\),\(B\),\(C\),\(D\) 四點在同一平面上

3.如圖所示，\(O\) 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點\(P\)落在\(\triangle ODE\)內部（不含邊界）？

(1) \(\vec {OP}=\vec {OC}+\vec{OE}\)
(2) \(\vec {OP}=\frac{1}{4}\vec{OC}+\frac{1}{2}\vec{OE}\)
(3) \(\vec {OP}=-\frac{1}{4}\vec{OC}+\frac{1}{2}\vec{OE}\)
(4) \(\vec {OP}=\frac{1}{4}\vec{OC}-\frac{1}{2}\vec{OE}\)
(5) \(\vec {OP}=-\frac{1}{4}\vec{OC}-\frac{1}{2}\vec{OE}\)

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4.令\(I=\left[ \begin{matrix} {1} & {0} \\ {0} & {1} \\\end{matrix} \right]\)，\(A=\left[ \begin{matrix} {1} & {1} \\ {3} & {4} \\\end{matrix} \right]\)，\(B=I+A+{{A}^{-1}}\)，試選出代表BA的選項。
(1) \(\left[ \begin{matrix} {1} & {0} \\ {0} & {1} \\\end{matrix} \right]\)
(2) \(\left[ \begin{matrix} {6} & {0} \\ {6} & {1} \\\end{matrix} \right]\)
(3) \(\left[ \begin{matrix} {4} & {-1} \\ {-3} & {1} \\\end{matrix} \right]\)
(4) \(\left[ \begin{matrix} {1} & {1} \\ {3} & {4} \\\end{matrix} \right]\)
(5) \(\left[ \begin{matrix} {6} & {6} \\ {18} & {24} \\\end{matrix} \right]\)

5.試問數線上有多少個整數點與點\(\sqrt{101}\)的距離小於\(5\)，但與點\(\sqrt{38}\)的距離大於\(3\)？
(1) 1個
(2) 4個
(3) 6個
(4) 8個
(5) 10個

6.連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 \(a\),\(b\)。試問發生\(\log \left( {{a}^{2}} \right)+\log b>1\)的機率為多少？ 
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{1}{2}\)
(3) \(\frac{2}{3}\)
(4) \(\frac{3}{4}\)
(5) \(\frac{5}{6}\)

7.坐標平面上，函數圖形\(y=-\sqrt{3}{{x}^{3}}\)上有兩點\(P\),\(Q\)到原點距離皆為\(1\)。已知點\(P\)坐標為\((\cos \theta ,\sin \theta )\)，試問點\(Q\)坐標為何？
(1) \(\left( \cos (-\theta ),\sin (-\theta ) \right)\)
(2) \(\left( -\cos \theta ,\sin \theta \right)\)
(3) \(\left( \cos (-\theta ),-\sin\theta \right)\)
(4) \(\left( -\cos \theta ,\sin (-\theta ) \right)\)
(5) \(\left( \cos \theta ,-\sin \theta \right)\)

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二、多選題（占30分）
說明：第8題至第13題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

8.有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，可得到獎金\(100\)元；若兩個條件都滿足，則共得\(200\)元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
（B）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為\(1\),\(3\)，且所得獎金為\(100\)元，則未知的骰子點數可能為何？
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
(5) 6

9.在坐標平面上，有一通過原點\(O\)的直線\(L\)，以及一半徑為\(2\)、圓心為原點\(O\)的圓\(\Gamma\)。\(P\),\(Q\)為\(\Gamma\)上相異2點，且 \(\overline{OP},\overline{OQ}\)分別與L所夾的銳角皆為\(30^{\circ} \)，試選出內積\(\vec{OP}\cdot \vec {OQ}\)之值可能發生的選項。
(1) \(2\sqrt{3}\)
(2) \(-2\sqrt{3}\)
(3) \(0 \)
(4) \(-2\)
(5) \(-4\)

10.考慮多項式\(f(x)=3{{x}^{4}}+11{{x}^{2}}-4\)，試選出正確的選項。
(1) \(y=f(x)的圖形和y軸交點的y坐標小於0\)
(2) \(f(x)=0\)有4個實根
(3) \(f(x)=0\)至少有一個有理根
(4) \(f(x)=0\)有一根介於0與1之間
(5) \(f(x)=0\)有一根介於1與2之間

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11.設 \(a\),\(b\),\(c\)為實數且滿足\(\log a=1.1\)、\(\log b=2.2\)、\(\log c=3.3\)。試選出正確的選項。
(1) \(a+c=2b\)
(2) \(1<a<10\)
(3) \(1000<c<2000\)
(4) \(b=2a\)
(5) \(a\),\(b\),\(c\)成等比數列

12.下表是2011年至2018年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如2011年總就業人口為1,070.9萬人，65歲以上男性農業就業人口為69.1千人。試根據表格資料選出正確的選項。
(1) 從 2013 年至 2018 年， 65 歲以上的男性農業就業人口逐年遞增
(2) 從 2013 年至 2018 年， 50 歲至 64 歲之男性農業就業人口逐年遞增
(3) 上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五
(4) 上表中，每一年 50 歲至 64 歲之男性農業就業人口都少於 49 歲以下之男性農業就業人口
(5) 就65歲以上之男性農業就業人口而言， 2018 年比 2011 年增加了不到一萬人

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13.如示意圖，四面體\(OABC\)中，\(\triangle OAB\)和\(\triangle OAC\)均為正三角形，\(\angle BOC={30^\circ\})。試選出正確的選項。

(1) \(\overline{BC}>\overline{OC}\)
(2) \(\triangle OBC是等腰三角形\)
(3) \(\triangle OBC的面積大於\triangle OAB的面積\)
(4) \(\angle CAB={30^\circ}\)
(5) 平面OAB和平面OAC的夾角（以銳角計）小於\({30^\circ}\)

第貳部分：選填題（占35分）
說明：1.第A至G題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–36）2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.網路賣家以200元的成本取得某件模型，並以成本的5倍作為售價，差價即為利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為多少元。

B.有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白色的機率各為 \(\frac{1}{2}\)；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為\(\frac{1}{3}\)，不同色的機率為 \(\frac{2}{3}\)。今某甲投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為何（化為最簡分數）

C.設\(S\)為坐標平面上直線\(2x+y=10\)被平行線\(x-2y+15=0\)與\(x-2y=0\)所截的線段（含端點）。若直線\(3x-y=c\)與\(S\)有交點，則\(c\)的最小值為何。

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D.平面上有一箏形\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}=\overline{BC}=\sqrt{2}\)，\(\overline{AD}=\overline{CD}=2\)，\(\angle BAD=135^\circ\) 。
則 \(\overline{AC}=  \)（化為最簡根式）

E.空間中有三點 \(A(1,7,2)\)、\(B(2,-6,3)\)、\(C(0,-4,1)\)。若直線\(L\)通過\(A\)點並與直線\(BC\)相交且垂直，則\(L\)和直線\(BC\)的交點坐標為何。

F.坐標平面上有一條拋物線\(\Gamma\)，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對稱軸與\(\Gamma\)的對稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為\(4\)、下底為\(6\)、高為\(14\)，則\(\Gamma\)的焦距為何。

G.設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧\(QRT\)是一個以\(O\)點為圓心、\(\overline{QT}\)為直徑的半圓，\(\overline{QT}=2\sqrt{3}\)。
圓弧\(QST\)的圓心在\(P\)點，\(\overline{PQ}=\overline{PT}=2\)。圓弧\(QRT\)與圓弧\(QST\)所圍出的灰色區域 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為\(a\pi +\sqrt{b}\)，其中\(\pi\)為圓周率，\(a\)為有理數，\(b\)為整數，則 \(a=\) ，\(b=\) （化為最簡分數）

參考公式及可能用到的數值