105年國中教育會考
數學科題本
第一部分：選擇題（第1~25題）

1.$x=-3$，$y=1$為下列哪一個二元一次方程式的解？
(A)$x+2y=-1$
(B)$x-2y=1$
(C)$2x+3y=6$
(D)$2x-3y=-6$

2.算式$\left[-5-\left(-11\right)\right]÷\left(\frac{3}{2}\times 4\right)$之值為何？
(A)$1$
(B)$16$
(C)$-\frac{8}{3}$
(D)$-\frac{128}{3}$

3.計算$\left(2x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2+x-2\right)$的結果，與下列哪一個式子相同？
(A)$x^2-2x+1$
(B)$x^2-2x-3$
(C)$x^2+x-3$
(D)$x^2-3$

4.如圖(一)，已知扇形$AOB$的半徑為$10$公分，圓心角為$54°$，則此扇形面積為多少平方公分？
(A)$100\pi$
(B)$20\pi$
(C)$15\pi$
(D)$5\pi$

5.圖(二)數線上的$A$、$B$、$C$三點所表示的數分別為$a$、$b$、$c$。若$\left|a-b\right|=3$，$\left|b-c\right|=5$，且原點$O$與$A$、$B$的距離分別為$4$、$1$,則關於$O$的位置，下列敘述何者正確？
(A)在$A$的左邊
(B)介於$A$、$B$之間
(C)介於$B$、$C$之間
(D)在$C$的右邊

6.多項式$77x^2-13x-30$可因式分解成$\left(7x+a\right)\left(bx+c\right)$，其中$a$、$b$、$c$均為整數，求$a+b+c$之值為何？
(A)$0$
(B)$10$
(C)$12$
(D)$22$

7.圖(三)、圖(四)分別為甲、乙兩班學生參加投籃測驗的投進球數長條圖。若甲、乙兩班學生的投進球數的眾數分別為$a$、$b$；中位數分別為$c$、$d$，則下列關於$a$、$b$、$c$、$d$的大小關係，何者正確？
(A)$a>b$，$c>d$
(B)$a>b$，$c<d$
(C)$a<b$，$c>d$
(D)$a<b$，$c<d$

8.如圖（五），有一平行四邊形$ABCD$與一正方形$CEFG$，其中$E$點在$\overline{AD}$上。若$\angle ECD=35°$，$\angle AEF=15°$,則$\angle B$的度數為何？
(A)$50$
(B)$55$
(C)$70$
(D)$75$

9.小昱和阿帆均從同一本書的第$1$頁開始，逐頁依順序在每一頁上寫一個數。小昱在第$1$頁寫$1$，且之後每一頁寫的數均為他在前一頁寫的數加$2$；阿帆在第$1$頁寫$1$，且之後每一頁寫的數均為他在前一頁寫的數加$7$。若小昱在某頁寫的數為$101$，則阿帆在該頁寫的數為何？
(A)$350$
(B)$351$
(C)$356$
(D)$358$

10.甲箱內有$4$顆球，顏色分別為紅、黃、綠、藍；乙箱內有$3$顆球，顏色分別為紅、黃、黑。小賴打算同時從甲、乙兩個箱子中各抽出一顆球，若同一箱中每球被抽出的機會相等，則小賴抽出的兩顆球顏色相同的機率為何？
(A)$\frac{1}{3}$
(B)$\frac{1}{6}$
(C)$\frac{2}{7}$
(D)$\frac{7}{12}$

11.坐標平面上有一個二元一次方程式的圖形，此圖形通過$\left(-3,0\right)$、$\left(0,-5\right)$兩點。判斷此圖形與下列哪一個方程式的圖形的交點在第三象限？
(A)$x-4=0$
(B)$x+4=0$
(C)$y-4=0$
(D)$y+4=0$

12.如圖(六)，$△ABC$中，$D$、$E$兩點分別在$\overline{AC}$、$\overline{BC}$上，$\overline{DE}$為$\overline{BC}$的中垂線，$\overline{BD}$為$\angle ADE$的角平分線。若$\angle A=58°$，則$\angle ABD$的度數為何？
(A)$58$
(B)$59$
(C)$61$
(D)$62$

13.若一正方形的面積為$20$平方公分，周長為$x$公分，則$x$的值介於下列哪兩個整數之間？
(A)$16$，$17$
(B)$17$，$18$
(C)$18$，$19$
(D)$19$，$20$

14.如圖(七),圓O通過五邊形$OABCD$的四個頂點。若$\stackrel{⌢}{ABD}=150°$，$\angle A=65°$，$\angle D=60°$，則BC的度數為何？
(A)$25$
(B)$40$
(C)$50$
(D)$55$

15.圖（八）的六邊形是由甲、乙兩個長方形和丙、丁兩個等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等於丙、丁的面積和。若丙的一股長為$2$，且丁的面積比丙的面積小，則丁的一股長為何？
(A)$\frac{1}{2}$
(B)$\frac{3}{5}$
(C)$2-\sqrt{3}$
(D)$4-2\sqrt{3}$

16.圖(九)的矩形$ABCD$中，$E$點在$\overline{CD}$上，且$\overline{AE}<\overline{AC}$。若$P$、$Q$兩點分別在$\overline{AD}$、$\overline{AE}$上，$\overline{AP}:\overline{PD}=4:1$，$\overline{AQ}:\overline{QE}=4:1$，直線$PQ$交$\overline{AC}$於$R$點，且$Q$、$R$兩點到$\overline{CD}$的距離分別為$q$、$r$，則下列關係何者正確？
(A)$q<r$，$\overline{QE}=\overline{RC}$
(B)$q<r$，$\overline{QE}<\overline{RC}$
(C)$q=r$，$\overline{QE}=\overline{RC}$
(D)$q=r$，$\overline{QE}<\overline{RC}$

17.已知$a$、$b$、$c$為三正整數，且$a$、$b$的最大公因數為$12$，$a$、$c$的最大公因數為$18$。若$a$介於$50$與$100$之間，則下列敘述何者正確？
(A)$8$是$a$的因數，$8$是$b$的因數
(B)$8$是$a$的因數，$8$不是$b$的因數
(C)$8$不是$a$的因數，$8$是$c$的因數
(D)$8$不是$a$的因數，$8$不是$c$的因數

18.如圖(十),有一內部裝有水的直圓柱形水桶，桶高$20$公分；另有一直圓柱形的實心鐵柱，柱高$30$公分，直立放置於水桶底面上，水桶內的水面高度為$12$公分，且水桶與鐵柱的底面半徑比為$2:1$。今小賢將鐵柱移至水桶外部，過程中水桶內的水量未改變，若不計水桶厚度，則水桶內的水面高度變為多少公分？
(A)$4.5$
(B)$6$
(C)$8$
(D)$9$

19.表(一)為小潔打算在某電信公司購買一支MAT手機與搭配一個門號的兩種方案。此公司每個月收取通話費與月租費的方式如下：若通話費超過月租費，只收通話費；若通話費不超過月租費，只收月租費。若小潔每個月的通話費均為$x$元，$x$為$400$到$600$之間的整數，則在不考慮其他費用並使用兩年的情況下，$x$至少為多少才會使得選擇乙方案的總花費比甲方案便宜？
表(一)

(A)$500$
(B)$516$
(C)$517$
(D)$600$

20.如圖(十一),以矩形$ABCD$的$A$為圓心，$\overline{AD}$長為半徑畫弧，交$\overline{AB}$於$F$點；再以$C$為圓心，$\overline{CD}$長為半徑畫弧，交$\overline{AB}$於$E$點。若$\overline{AD}=5$，$\overline{CD}=\frac{17}{3}$，則$\overline{EF}$的長度為何？
(A)$2$
(B)$3$
(C)$\frac{2}{3}$
(D)$\frac{7}{3}$

21.坐標平面上，某二次函數圖形的頂點為$\left(2,-1\right)$，此函數圖形與$x$軸相交於$P$、$Q$兩點，且$\overline{PQ}=6$。若此函數圖形通過$\left(1,a\right)$、$\left(3,b\right)$、$\left(-1,c\right)$、$\left(-3,d\right)$四點，則$a$、$b$、$c$、$d$之值何者為正？
(A)$a$
(B)$b$
(C)$c$
(D)$d$

22.圖(十二)的矩形$ABCD$中，$E$為$\overline{AB}$的中點，有一圓過$C$、$D$、$E$三點，且此圓分別與$\overline{AD}$、$\overline{BC}$相交於$P$、$Q$兩點。甲、乙兩人想找到此圓的圓心$P$，其作法如下：
(甲)作$\angle DEC$的角平分線$L$，作$\overline{DE}$的中垂線，交$L$於$O$點，則$O$即為所求
(乙)連接$\overline{PC}$、$\overline{QD}$，兩線段交於一點$O$，則$O$即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
(A)兩人皆正確
(B)兩人皆錯誤
(C)甲正確，乙錯誤
(D)甲錯誤，乙正確

23.如圖(十三)，正六邊形$ABCDEF$中，$P$、$Q$兩點分別為$△ACF$、$△CEF$的內心。若$\overline{AF}=2$，則$\overline{PQ}$的長度為何？
(A)$1$
(B)$2$
(C)$2\sqrt{3}-2$
(D)$4-2\sqrt{3}$

24.如圖(十四)，$\overline{OP}$為一條拉直的細線，$A$、$B$兩點在$\overline{OP}$上，且$\overline{OA}:\overline{AP}=1:3$，$\overline{OB}:\overline{BP}=3:5$。若先固定$B$點，將$\overline{OB}$摺向$\overline{BP}$，使得$\overline{OB}$重疊在$\overline{BP}$上，如圖(十五)，再從圖(十五)的$A$點及與$A$點重疊處一起剪開，使得細線分成三段，則此三段細線由小到大的長度比為何？
(A)$1:1:1$
(B)$1:1:2$
(C)$1:2:2$
(D)$1:2:5$

25.如圖(十六),矩形$ABCD$中，$M$、$E$、$F$三點在$\overline{AD}$上，$N$是矩形兩對角線的交點。若$\overline{AB}=24$，$\overline{AD}=32$，$\overline{MD}=16$，$\overline{ED}=8$，$\overline{FD}=7$，則下列哪一條直線是$A$、$C$兩點的對稱軸？
(A)直線$MN$
(B)直線$EN$
(C)直線$FN$
(D)直線$DN$
 

第二部份