112 年國中教育會考 數學科試題本

第一部分：選擇題 (1 ~ 25 題)

 

1. \({{\left( -3 \right)}^{3}}\)之值為何？

(A) \(-27\)

(B) \(-9\)

(C) \(9\)

(D) \(27\)

 

2. 下列何者為\({{x}^{2}}-36\)多項式的因式？

(A) \(x-3\)

(B) \(x-4\)

(C) \(x-6\)

(D) \(x-9\)

 

3. 圖（一）的立體圖形由相同大小的正方體積木堆疊而成。判斷拿走圖（一）的哪一個積木後，此圖形前視圖的形狀會改變？

(A) 甲

(B) 乙

(C) 丙

(D) 丁

 

4. 化簡\(\sqrt{135}\)的結果為下列何者？

(A) \(3\sqrt{5}\)

(B) \(27\sqrt{5}\)

(C) \(3\sqrt{15}\)

(D) \(9\sqrt{15}\)

 

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5. 坐標平面上，一次函數\(y=-2x-6\)的圖形通過下列哪一個點？

(A) \(\left( -4,1 \right)\)

(B) \(\left( -4,2 \right)\)

(C) \(\left( -4,-1 \right)\)

(D) \(\left( -4,-2 \right)\)

6. 已知\(a=-1\)，\(b=-1\frac{3}{4}\)，\(c=-1\frac{5}{8}\)，下列關於\(a\)、\(b\)、\(c\)三數大小關係，何者正確？

(A) \(a>c>b\)

(B) \(a>b>c\)

(C) \(b>c>a\)

(D) \(c>b>a\)

 

7. 如圖（二），坐標平面上直線\(L\)的方程式為\(x=-5\)，直線\(M\)的方程式為\(y=-3\)，\(P\)點的坐標為\(\left( a,b \right)\)。根據圖（二）中\(P\)點位置判斷，下列關係何者正確？

(A) 甲

(B) 乙

(C) 丙

(D) 丁

 

8. 如圖（三），梯形\(ABCD\)中，\(\overline{AD}\parallel \overline{BC}\)。若\(\angle ADC={{140}^{\circ }}\)，且\(\overline{BC}\bot \overline{CD}\)，則\(\angle DBC\)的度數為何？

(A) \(30\)

(B) \(40\)

(C) \(50\)

(D) \(60\)

 

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9. 有多少個正整數是\(18\)的倍數，同時也是\(216\)的因數？

(A) \(2\)

(B) \(6\)

(C) \(10\)

(D) \(12\)

 

10. 利用公式解可得一元二次方程式\(3{{x}^{2}}-11x-1=0\)的兩個解為\(a\)、\(b\)，且\(a>b\)，求\(a\)值為和？

(A) \(\frac{-11+\sqrt{109}}{6}\)

(B) \(\frac{-11+\sqrt{133}}{6}\)

(C) \(\frac{11+\sqrt{109}}{6}\)

(D) \(\frac{11+\sqrt{133}}{6}\)

 

11. 業者販售含咖啡因飲料時通常會以紅、黃、綠三色來標示每杯飲料的咖啡因含量，個顏色的意義如表（一）所示。

表(一)

咖啡因含量標示	咖啡因含量
紅色	超過200毫克
黃色	超過100毫克，但不超過200毫克
綠色	不超過100毫克

 

表(二)

	容量	咖啡因含量標示
中杯	360毫升	黃色
大杯	480毫升	紅色

 

我國建議每位成人一日的咖啡因攝取量不超過\(300\)毫克，歐盟則建議一日不超過\(400\)毫克。表（二）為某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量標示，已知該店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同，判斷一位成人一日喝\(2\)杯該店中杯的美式咖啡，其咖啡因攝取量是否符合我國或歐盟的建議？

(A) 符合我國也符合歐盟

(B) 不符合我國也不符合歐盟

(C) 符合我國，不符合歐盟

(D) 不符合我國，符合歐盟

 

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12. 盒玩的販售方式是將一款玩具裝在盒子中販賣，購買者只能從外盒知道購買的是哪一系列玩具，但無法知道是系列中的哪一款。圖（四）、圖（五）分別為動物系列、汽車系列盒玩中所有可能出現的款式。

已知小友喜歡圖（四）中的A款、C款，喜歡圖（五）中的B款，若他打算購買圖（四）的盒玩一盒，且他買到圖（四）中每款玩具的機會相等；他也打算購買圖（五）的盒玩一盒，且他買到圖（五）中每款玩具的機會相等，則他買到的兩盒盒玩內的玩具都是他喜歡的款式的機率為何？

(A) \(\frac{1}{15}\)

(B) \(\frac{1}{10}\)

(C) \(\frac{2}{11}\)

(D) \(\frac{3}{11}\)

 

13. 如圖（六），直角柱\(ABCDEF\)的底面為直角三角形。若\(\angle ABC=\angle DEF={{90}^{\circ }}\)，\(\overline{BC}>\overline{AB}>\overline{BE}\)，則連接\(\overline{AE}\)後，下列敘述何者正確？

(A) \(\angle ACB<\angle FDE\)，\(\angle AEB>\angle ACB\)

(B) \(\angle ACB<\angle FDE\)，\(\angle AEB<\angle ACB\)

(C) \(\angle ACB>\angle FDE\)，\(\angle AEB>\angle ACB\)

(D) \(\angle ACB>\angle FDE\)，\(\angle AEB<\angle ACB\)

 

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14. 座標平面上有兩個二次函數的徒刑，期頂點\(P\)、\(Q\)皆在\(x\)軸上，且有一水平線與兩圖形相交於\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四點，各點位置如圖（七）所示。若\(\overline{AB}=10\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{CD}=6\)，則\(\overline{PQ}\)的長度為何？

(A) \(7\)

(B) \(8\)

(C) \(9\)

(D) \(10\)

 

15. 若想在等差數列\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\)中插入一些數，使得新的數列也是等差數列，且新的數列的首項仍是\(1\)，末項仍是\(5\)，則新的數列的項數可能為下列何者？

(A) \(11\)

(B) \(15\)

(C) \(30\)

(D) \(33\)

 

16. 已知某速食店販售的套餐內容為一片雞排和一杯可樂，且一份套餐的價錢比單點一片雞排在單點一杯可樂的總價錢便宜\(40\)元。阿俊打算到該速食店買兩份套餐，若他發現店內有單點一片雞排就再送一片雞排的促銷活動，且單點一片雞排再單點兩杯可樂的總價錢，比兩份套餐的總價前便宜\(10\)元，則根據提議可得到下列哪一個結論？

(A) 一份套餐的價錢必為\(140\)元

(B) 一份套餐的價錢必為\(120\)元

(C) 單點一片雞排的價錢必為\(90\)元

(D) 單點一片雞排的價錢必為\(70\)元

 

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17. 圖（八）的方格紙中，每個方格的邊長為\(1\)，\(A\)、\(O\)兩點皆在格線的交點上。今在此方格紙格線的交點上另外找兩點\(B\)、\(C\)，使得\(\vartriangle ABC\)的外心為\(O\)，求\(\overline{BC}\)的長度為何？

(A) \(4\)

(B) \(5\)

(C) \(\sqrt{10}\)

(D) \(\sqrt{20}\)

 

18. 樂樂停車場為\(24\)小時營業，其收費方式如表（三）所示。已知阿虹某日\(10:00\)進場停車，停了\(x\)小時候離場，\(x\)為整數。若阿虹離場的時間介於當日\(20:00\tilde{\ }24:00\)間，則他此次停車的費用為多少元？

表(三)

停車時段	收費方式
08:00~20:00	20元/小時 該時段最多收100元
20:00~08:00	5元/小時 該時段最多收30元
若進場與離場時間不在同一時段，則兩時段分別計費

 

(A) \(5x+30\)

(B) \(5x+50\)

(C) \(5x+150\)

(D) \(5x+200\)

 

19. 圖（九）為一圓形紙片，\(A\)、\(B\)、\(C\)為圓周上三點，其中\(\overline{AC}\)為直徑。今以\(\overline{AB}\)為摺線將紙片向右摺後，紙片蓋住部分的\(\overline{AC}\)，而\(\overset\frown{AB}\)上與\(\overset\frown{AC}\)重疊的點為\(D\)，如圖（十）所示。若\(\overset\frown{BC}={{35}^{\circ }}\)，則\(\overset\frown{AD}\)的度數為何？

(A) \(105\)

(B) \(110\)

(C) \(120\)

(D) \(145\)

 

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20. 如圖（十一），\(\vartriangle ABC\)中，\(D\)點在\(\overline{BC}\)上，且\(\overline{BD}\)的中垂線與\(\overline{AB}\)相交於\(E\)點，\(\overline{CD}\)的中垂線與\(\overline{AC}\)相交於\(F\)點。已知\(\vartriangle ABC\)的三個內角皆不相等，根據圖（十一）中標示的角，判斷下列敘述何者正確？

(A) \(\angle 1=\angle 3\)，\(\angle 2=\angle 4\)

(B) \(\angle 1=\angle 3\)，\(\angle 2\ne \angle 4\)

(C) \(\angle 1\ne \angle 3\)，\(\angle 2=\angle 4\)

(D) \(\angle 1\ne \angle 3\)，\(\angle 2\ne \angle 4\)

 

21. 有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時開始往吊橋的另一頭筆直地走過去，如圖（十二）所示。已知小維從西橋頭走了\(84\)步，阿良從東橋頭走了\(60\)步時，兩人在吊橋上的某點交會，且交會之後阿良再走\(70\)步恰好走到西橋頭。若小維每步的距離相等，阿良每步的距離相等，則交會之後小維再走多少步會恰好走到東橋頭？

(A) \(46\)

(B) \(50\)

(C) \(60\)

(D) \(72\)

 

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22. 如圖（十三），正方形\(ABCD\)與\(\vartriangle EBC\)中，\(\overline{AD}\)分別與\(\overline{EB}\)、\(\overline{EC}\)相交於\(F\)點、\(G\)點。若\(\vartriangle EBG\)的面積為\(6\)，正方形\(ABCD\)的面積為\(16\)，則\(\overline{FG}\)與\(\overline{BC}\)的長度比為何？

(A) \(3:5\)

(B) \(3:6\)

(C) \(3:7\)

(D) \(3:8\)

 

23. 如圖（十四），矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{AD}=8\)，且有一點\(P\)從\(B\)點沿著\(\overline{BD}\)往\(D\)點移動。若過\(P\)點作\(\overline{AB}\)的垂線交\(\overline{AB}\)於\(E\)點，過\(P\)點作\(\overline{AD}\)的垂線交\(\overline{AD}\)於\(F\)點，則\(\overline{EF}\)的長度最小為多少？

(A) \(\frac{14}{5}\)

(B) \(\frac{24}{5}\)

(C) \(5\)

(D) \(7\)

 

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人口老化是國家人口分布向高年齡偏移的現象，許多國家已開始面臨此問題。依國際常用定義，一個國家中的\(65\)歲以上人口佔總人口的百分比為\(7%\)以上（含）且未達\(14%\)時稱作「高齡化社會」，\(14%\)以上（含）且未達\(20%\)時稱作「高齡社會」，\(20%\)以上（含）時稱作「超高齡社會」。

 

24. 圖（十五）為某機構於\(2020\)年繪製的四個國家\(65\)歲以上人口占總人口百分比之折線圖，其中\(2020\)年之後的數值為推估值。

根據圖（十五）推測，下列哪一個國家從進入「高齡社會」到進入「超高齡社會」所花的時間最短？

(A) 法國

(B) 義大利

(C) 美國

(D) 韓國

 

25. 已知\(2019\)年我國進入「高齡社會」，預測\(2025\)年會進入「超高齡社會」。假設我國\(2019\)年與\(2025\)年總人口數皆為\(2300\)萬人，且\(2019\)年我國\(65\)歲以上人口占總人口的百分比恰好達到「高齡社會」的最低標準，則根據上述預測，關於我國\(65\)歲以上人口數，\(2025\)年與\(2019\)年相比至少增加了多少萬人？

(A) \(138\)

(B) \(161\)

(C) \(322\)

(D) \(460\)

 

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第二部分：非選擇題 (1 ~ 2 題)

 

1. \(A\)、\(B\)兩廠牌的疫苗接進行實驗以計算其疫苗效力。兩廠牌的疫苗實驗人數皆為\(30000\)人，各廠牌實驗人數中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰劑。經過一段時間後觀察得知，在\(A\)廠牌的實驗中，施打疫苗後仍感染的人數為\(50\)人，施打安慰劑後感染的人數為\(500\)人。而疫苗效力的算式如下：

\(疫苗效力=\left( 1-p\div q \right)\times 100%\)，其中

\(p=\frac{施打疫苗後仍感染的人數}{施打疫苗的人數}\)，\(q=\frac{施打安慰劑後感染的人數}{施打安慰劑的人數}\)

 

請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：

(1) 根據實驗數據算出\(A\)廠牌的疫苗效力為多少？

(2) 若\(B\)廠牌的實驗數據算出的疫苗效力高於\(A\)廠牌，請詳細說明\(B\)廠牌的實驗中施打疫苗後仍感染的人數，是否一定低於\(A\)廠牌實驗中施打疫苗後仍感染的人數？

 

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2. 小儀利用一副撲克牌摺疊出一個環套，如圖（十六）所示。環套的上視圖為邊長\(6\)公分的正八邊形，如圖（十七）所示。

圖（十八）呈現\({{45}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}-{{90}^{\circ }}\)的三角形與\({{25}^{\circ }}-{{67.5}^{\circ }}-{{90}^{\circ }}\)的三角形，當斜邊為\(1\)時的兩股近似值，供作答時參考。

 

請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：

(1) 圖（十七）的正八邊形的一個內角度數為多少？

(2) 已知有一個圓柱形花瓶其底面半徑為\(8\)公分，假設不考慮花瓶與環套厚度，判斷圖（十六）的環套是否能在不變形的前提下，套在此圓柱形花瓶側面外圍？