本篇內容由 台灣視障協會志工將數學式部份以 LaTeX 語法編輯
 
112 學年度學科能力測驗試題
數學 A 考科

 

1. 若在計算器中鍵入某正整數 \(N\)，接著連按「\(\sqrt{}\)」鍵（取正平方根）\(3\) 次，視窗顯示得到答案為 \(2\)， 則 \(N\) 等於下列哪一個選項？

(1) \(2^3\)

(2) \(2^4\)

(3) \(2^6\)

(4) \(2^8\)

(5) \(2^{12}\)

 

2. 坐標平面上，以原點 \(O\) 為圓心、\(1\) 為半徑作圓，分別交坐標軸正向於 \(A、B\) 兩點。在第一象限的圓弧上取一點 \(C\) 作圓的切線分別交兩軸於點 \(D、E\)，如圖所示。令 \(\angle{OEC}=\theta\) 試選出為 \(tan\theta\) 的選項。

(1) \(\overline{OE}\)

(2) \(\overline{OC}\)

(3) \(\overline{OD}\)

(4) \(\overline{CE}\)

(5) \(\overline{CD}\)

 

3. 某生推導出兩物理量 \(s, t\) 應滿足一等式。為了驗證其理論，他做了實驗得到 \(15\) 筆兩物理量的數據 \((s_k, t_k)\)，\(k=1,...,15\)。老師建議他將其中的 \(t_k\) 先取對數，在坐標平面上標出對應的點 \(s_k, \log_{t_k}\)，如圖所示；其中第一個數據為橫軸坐標，第二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。試問該生所得 \(s, t\) 的關係式最可能為下列哪一選項？

(1) \(s=2t\)

(2) \(s=3t\)

(3) \(t=10^s\)

(4) \(t^2=10^s\)

(5) \(t^3=10^s\)

 

4. 將數字 \(1、 2、 3、 …、 9\) 等 \(9\) 個數字排成九位數（數字不得重複），使得前 \(5\) 位從左至右遞增、且後 \(5\) 位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？

(1) \(\frac{8!}{4!4!}\)

(2) \(\frac{8!}{5!3!}\)

(3) \(\frac{9!}{5!4!}\)

(4) \(\frac{8!}{5!}\)

(5) \(\frac{9!}{5!}\)

 

5. 已知座標空間中 \(P、Q、R\) 為平面 \(2x-3y+5z=\sqrt{7}\) 上不共線三點。令 \(\vec{PQ}=(a_1, b_1, c_1)\)，\(\vec{PR}=(a_2, b_2, c_2)\)。試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。

(1) \(\left | \begin{array} {ccc} {-1} &{1} &{1} \\ {a_1} &{b_1} &{c_1} \\ {a_2} &{b_2} &{c_2} \end{array} \right |\)

(2) \(\left | \begin{array} {ccc} {1} &{-1} &{1} \\ {a_1} &{b_1} &{c_1} \\ {a_2} &{b_2} &{c_2} \end{array} \right |\)

(3) \(\left | \begin{array} {ccc} {1} &{1} &{-1} \\ {a_1} &{b_1} &{c_1} \\ {a_2} &{b_2} &{c_2} \end{array} \right |\)

(4) \(\left | \begin{array} {ccc} {-1} &{-1} &{1} \\ {a_1} &{b_1} &{c_1} \\ {a_2} &{b_2} &{c_2} \end{array} \right |\)

(5) \(\left | \begin{array} {ccc} {-1} &{-1} &{-1} \\ {a_1} &{b_1} &{c_1} \\ {a_2} &{b_2} &{c_2} \end{array} \right |\)

 

6. 坐標空間中，考慮邊長為 \(1\) 的正立方體，固定一頂點 \(O\)。從 \(O\) 以外的七個頂點隨機選取相異兩點，設此兩點為 \(P、Q\)，試問所得的內積 \(\vec{OP}．\vec{OQ}\) 之期望值為下列哪一個選項？

(1) \(\frac{4}{7}\)

(2) \(\frac{5}{7}\)

(3) \(\frac{6}{7}\)

(4) \(1\)

(5) \(\frac{8}{7}\)

 

7. 某公司有甲、乙兩新進員工，兩人同時間入職且起薪相同。公司承諾給甲、乙兩員工調薪的方式如下：

甲：工作滿 \(3\) 個月，下個月開始月薪增加 \(200\) 元；以後再每滿 \(3\) 個月皆依此方式調薪。

乙：工作滿 \(12\) 個月，下個月開始月薪增加 \(1000\) 元；以後再每滿 \(12\) 個月皆依此方式調薪。

根據以上敘述，試選出正確的選項。

(1) 甲工作滿 \(8\) 個月後，第 \(9\) 個月的月薪比第 \(1\) 個月的月薪增加 \(600\) 元

(2) 工作滿一年後，第 \(13\) 個月甲的月薪比乙的月薪高

(3) 工作滿 \(18\) 個月後，第 \(19\) 個月甲的月薪比乙的月薪高

(4) 工作滿 \(18\) 個月時，甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水少

(5) 工作滿兩年後，在第 \(3\) 年的 \(12\) 個月中，恰有 \(3\) 個月甲的月薪比乙的月薪高

 

8. 某抽獎遊戲單次中獎機率為 \(0.1\)，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 \(n\)，

令 \(p_n\) 為玩此遊戲 \(n\) 次至少中獎 \(1\) 次的機率。試選出正確的選項。

(1) \(p_{n+1}>p_n\)

(2) \(p_3=0.3\)

(3) \(〈p_n〉\) 為等差數列

(4) 玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 \(p_2-p_1\)

(5) 玩此遊戲 \(n\) 次 且 \(n\ge2\) 時，至少中獎 \(2\) 次的機率等於 \(2p_n\)

 

9. 設 \(a_1, a_2, a_3, ..., a_n\) 是首項為 3 且公比為 \(3\sqrt{3}\) 的等比數列。試選出滿足不等式 \(\log_{3}a_1-\log_{3}a_2+\log_{3}a_3-\log_{3}a_4+...+(-1)^{n+1}\log_{3}a_n>18\) 的項數 \(n\) 之可能選項。

(1) \(23\)

(2) \(24\)

(3) \(25\)

(4) \(26\)

(5) \(27\)

 

10. 考慮坐標平面上的直線 \(L: 5y+(2k-4)x-10k=0\) （其中 \(k\) 為一實數），以及長方形 \(OABC\)，其頂點坐標為 \(O(0,0)\)、\(A(10,0)\)、\(B(10,6)\)、\(C(0,6)\)。設 L 分別交直線 \(OC\)、直線 \(AB\) 於點 \(D、 E\)。試選出正確的選項。

(1) 當 \(k=4\)時，直線 \(L\) 通過點 \(A\)

(2) 若直線 \(L\) 通過點 \(C\)， 則 \(L\) 的斜率為 \(-\frac{5}{2}\)

(3) 若點 D 在線段 \(\overline{OC}\) 上，則 \(0\le k\le 3\)

(4) 若 \(k=\frac{1}{2}\)，則線段 \(\overline{DE}\) 在長方形 \(OABC\) 內部（含邊界）

(5) 若線段 \(\overline{DE}\) 在長方形 \(OABC\) 內 部 （含邊界）， 則 L 的斜率可能為 \(\frac{3}{10}\)

 

11. 坐標平面上，設 \(A、B\) 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 \(90^{\circ}\) 的旋轉矩陣。設 \(C、D\) 分別表示以直線 \(x=y\)、\(x=-y\) 為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。

(1) \(A、C\) 將點 \((1,0)\) 映射到同一點

(2) \(A=-B\)

(3) \(C=D^{-1}\)

(4) \(AB=CD\)

(5) \(AC=BD\)

 

12. 令 \(f(x)=sinx+\sqrt{3}cosx\) ，試選出正確的選項。

(1) 鉛直線 \(x=\frac{\pi}{6}\) 為 \(y=f(x)\) 圖形的對稱軸

(2) 若鉛直線 \(x=a\) 和 \(x=b\) 均為 \(y=f(x)\) 圖形的對稱軸，則 \(f(a)=f(b)\)

(3) 在區間 \([0,2\pi)\) 中僅有一個實數 x 滿足 \(f(x)=\sqrt{3}\)

(4) 在區間 \([0,2\pi)\) 中滿足 \(f(x)=\frac{1}{2}\) 的所有實數 \(x\) 之和不超過 \(2\pi\)

(5) \(y=f(x)\) 的圖形可由 \(y=4sin^2\frac{x}{2}\) 的圖形經適當（左右、上下）平移得到

 

13. 某間新開幕飲料專賣店推出果汁、奶茶、咖啡三種飲料，前 \(3\) 天各種飲料的銷售數量（單位：杯）與收入總金額（單位：元）如下表，例如第一天果汁、奶茶、咖啡的銷售量分別為 \(60\) 杯、\(80\) 杯與 \(50\) 杯，收入總金額為 \(12900\) 元 。

已知同一種飲料每天的售價皆相同，則咖啡每杯的售價為 \(○13-1 ○13-2\) 元 。

天數	果汁（杯）	奶茶（杯）	咖啡（杯）	收入總金額（元）
第一天	60	80	50	12900
第二天	30	40	30	6850
第三天	50	70	40	10800

 

14. 設 \(a,b\) 為實數（其中 \(a>0\) ），若多項式 \(ax^2+(2a+b)x-12\) 除以 \(x^2+(2-a)x-2a\) 所得餘式為 \(6\)，則數對 \((a,b)=(○14-1,○14-2 ○14-3 )\)。

 

15. 設 \(O、A、B\) 為坐標平面上不共線三點，其中向量 \(\vec{OA}\) 垂直 \(\vec{OB}\)。若 \(C、D\) 兩點在直線 \(AB\) 上，滿足 \(\vec{OC}=\frac{3}{5}\vec{OA}+\frac{2}{5}\vec{OB}\)、\(3\overline{AD}=8\overline{BD}\)，且 \(\vec{OC}\) 垂直 \(\vec{OD}\)，則 \(\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\frac{○15-1}{○15-2}\)。（化為最簡分數）

 

16. 令 \(E: x+z=2\) 為座標空間中過三點 \(A(2,-1,0)\)、\(B(0,1,2)\)、\(C(-2,1,4)\) 的平面。另有一點 \(P\) 在平面 \(z=1\) 上且其於 E 之投影點與 A、B、C 三點等距離。則點 P 與平面 E 的距離為 \(\sqrt[○16-1]{○16-2}\)。（化為最簡根式）

 

17. 坐標空間中有兩不相交直線 \(L_1: \begin{cases} {x=1+t} \\ {y=1-t} \\ {z=2+t} \end{cases}\)，t 為實數、\(L_2: \begin{cases} {x=2+2s} \\ {y=5+s} \\ {z=6-s} \end{cases}\)，\(s\) 為實數，另一直線 \(L_3\) 與 \(L_1\)、\(L_2\) 皆相交且垂直。若 \(P、Q\) 兩點分別在 \(L_1\)、\(L_2\) 上且與 \(L_3\) 之距離皆為 \(3\)，則 \(P、Q\) 兩點的距離為 \(\sqrt[○17-1]{○17-2}\)。（化為最簡根式）

 

坐標平面上 \(O\) 為原點，給定 \(A(1,0)\)、\(B(-2,0)\) 兩點。另有兩點 \(P、Q\) 在上半平面，且滿足 \(\overline{AP}=\overline{OA}\)、\(\overline{BQ}=\overline{OB}\)、\(\angle{POQ}\) 為直角，如圖所示。令 \(\angle{AOP}=\theta\)。根據上述，試回答下列問題。

 

18. 線段 \(\overline{OP}\) 長為下列哪一選項？（單選題，\(3\) 分）

(1) \(sin\theta\)

(2) \(cos\theta\)

(3) \(2sin\theta\)

(4) \(2cos\theta\)

(5) \(cos2\theta\)

 

19. 若 \(sin\theta=\frac{3}{5}\)，試求點 \(Q\) 的坐標，並說明 \(\vec{BQ}=2\vec{AP}\)。（非選擇題，\(6\) 分）

 

20.（承 19 題）試求點 \(A\) 到直線 \(BQ\) 的距離，並求四邊形 \(PABQ\) 的面積。（非選擇題， \(6\) 分）