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111學年度學科能力測驗試題
數學B考科

第壹部分、選擇（ 填） 題（ 占85分）

一、單選題（ 占35 分）

1. 試問有多少個整數 \(x\)滿足 \(2|x|+x<10\)？ (1) \(13\) 個
(2) \(14\) 個
(3) \(15\) 個
(4) \(16\) 個
(5) 無窮多個

2. 某燈會布置變色閃燈，每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變換：藍-白- 紅-白-藍-白-紅-白-藍-白-紅-白…，每四次一循環，其中藍光每次持續 \(5\) 秒，白光每次持 續 \(2\) 秒，而紅光每次持續 \(6\) 秒。假設換燈號的時間極短可被忽略，試選出啟動後第 \(99\)至 \(101\) 秒之間的燈號。
(1) 皆為藍燈
(2) 皆為白燈
(3) 皆為紅燈
(4) 先亮藍燈再亮白燈
(5) 先亮白燈再亮紅燈

3. 有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 \(1,2,3,4,5,6,7,8\)。今電信公司想選取其中三棟 大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰的兩棟大廈，以免訊號 互相干擾，試問在 \(3\) 號大廈不設立基地台的情況下，有多少種設立基地台的選取方法？
(1) \(12\)
(2) \(13\)
(3) \(20\)
(4) \(30\)
(5) \(35\)

4. 在坐標平面上，已知向量 \(\vec{PQ}=(\log_{}\frac{1}{5},-10^{-5})\)，其中點 \(P\)的坐標為\((\log_{}\frac{1}{2},2^{-5})\)。試選出正確的選項。
(1) 點 \(Q\) 在第一象限
(2) 點 \(Q\)在第二象限
(3) 點 \(Q\)在第三象限
(4) 點 \(Q\)在第四象限
(5) 點 \(Q\)位於坐標軸上

5. 設矩陣 \(A=\left [ \begin{matrix} {1} &{1} \\ {1} &{-1} \end{matrix} \right ]\)，若 \(A^7-3A=\left [ \begin{matrix} {a} &{b} \\ {c} &{d} \end{matrix} \right ]\)，則 \(a + b + c + d\)之值為下列哪一個選項？
(1) \(-8\)
(2) \(-5\)
(3) \(5\)
(4) \(8\)
(5) \(10\)

6. 假設地球為一半徑 \(r\) 的球體，有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動，抵達北極點 時移動所經過的弧線之長度為 \(\frac{7}{12}\pi r\)。試問哪一個選項最可能是甲地的位置？
(1) 東經 \(75^{\circ}\) 、北緯 \(15^{\circ}\)
(2) 東經 \(30^{\circ}\) 、南緯 \(75^{\circ}\)
(3) 東經 \(75^{\circ}\) 、南緯 \(15^{\circ}\)
(4) 西經 \(30^{\circ}\) 、北緯 \(75^{\circ}\)
(5) 西經 \(15^{\circ}\) 、南緯 \(30^{\circ}\)

7. 畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守： 一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。 二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致。 三、空間直線上的任四個相異點的 \(K\) 值，和畫紙所畫的四個點之 \(K\) 值必須相同，其中 \(K\) 值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點 \(P_1,P_2,P_3,P_4\)，如下圖。 [直線上的任四個相異點]

其所對應的 \(K\) 值定義為 \(K=\frac{\overline{P_1P_4}\times\overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}\times\overline{P_2P_4}}\)。 今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點 \(Q_1,Q_2,Q_3,Q_4\)描繪在畫紙上，其中 \(\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}\)。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？
(1) \(1, 2, 4, 8\)
(2) \(3, 4, 6, 9\)
(3) \(1, 5, 8, 9\)
(4) \(1, 2, 4, 9\)
(5) \(1, 7, 9, 10\)

二、多選題（ 占2 5 分）
8. 有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 \(1\) 的圓盤靶子，其圓心分別為 \((2, 2)\)、\((4, 6)\) 與 \((8,1)\)。玩家選定一正數 \(a\)，並按下按鈕後，發射台將向點 \((1,a)\)方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（削過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。
(1) 雷射光束落在通過原點且斜率為 \(a\) 的直線上
(2) 若 \(a=\frac{3}{2}\)，則雷射光束會擊中圓心為 \((4, 6)\) 的圓盤靶子
(3) 玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子
(4) 玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子
(5) 玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為 \((8,1)\) 的圓盤靶子，則 \(a \le \frac{16}{63}\)

9. 設 \(f(x)= 2x^3- 3x+1\)，下列關於函數 \(y = f(x)\)的圖形之描述，試選出正確的選項。
(1) \(y = f(x)\)的圖形通過點 \((1,0)\)
(2) \(y = f(x)\)的圖形與 \(x\)軸只有一個交點
(3) 點 \((1,0)\)是 \(y = f(x)\)的圖形之對稱中心
(4) \(y = f(x)\)的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 \(y =3x -3\)
(5) \(y =3x^3 -6x^2 +2x\)的圖形可由 \(y= f(x)\)的圖形經適當平移得到

10. 甲、乙兩班各有 \(40\) 位同學參加某次數學考試（總分為 \(100\) 分），考試後甲、乙兩班分別以 \(y_1=0.8x_1+20\)和\(y_2=0.75x_1+25\)的方式來調整分數，其中 \(x_1,x_2\)分別代表甲、乙兩班的原始考試分數，\(y_1,y_2\)分別代表甲、乙兩班調整後的分數。已知調整後兩班的平均分數均為 \(60\) 分，調整後的標準差分別為 \(16 \)分和 \(15\) 分。試選出正確的選項。
(1) 甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數
(2) 甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高
(3) 甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高
(4) 若甲班 \(A\) 同學調整後的分數比乙班 \(B\) 同學調整後的分數高，則 \(A\) 同學的原始分數比 \(B\) 同學的原始分數高
(5) 若甲班調整後不及格（小於 \(60\) 分）的人數比乙班調整後不及格的人數多，則甲班 原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多

11. 考慮坐標平面上的點 \(O(0,0)\)、 \(A\)、 \(B\)、\(C\)、 \(D\)、 \(E\)、 \(F\) 、\(G\)，如下圖所示： 其中 \(B\) 點、\(C\) 與 \(D\) 點、\(E\) 與 \(F\) 點、\(G\) 與 \(A\) 點依序在一、二、三、四象限內。若 \(\vec{v}\)為坐標平面上的向量，且滿足 \(\vec{v} \cdot \vec{OA} > 0\)及 \(\vec{v} \cdot \vec{OB} > 0\)，則 \(\vec{v}\)與下列哪些向量的內積一定小於 \(0\) ？
[坐標平面]

(1) \(\vec{OC}\)
(2) \(\vec{OD}\)
(3) \(\vec{OE}\)
(4) \(\vec{OF}\)
(5) \(\vec{OG}\)

12. 設a, b, c都是非零的實數，且二次方程式 \(ax^2 +bx +c = 0\)的兩根都落在 \(1\) 和 \(3\) 之間。試選出兩根必定都落在 \(4\) 和 \(5\) 之間的方程式。
(1) \(a(x - 2)^2 + b(x - 2) + c = 0\)
(2) \(a(x + 2)^2 + b(x + 2) + c = 0\)
(3) \(a(2x - 7)^2 + b(2x - 7) + c = 0\)
(4) \(a(\frac{x+7}{2})^2+b(\frac{x+7}{2})^2 + c = 0\)
(5) \(a(3x - 11)^2 + b(3x - 11) + c = 0\)

三、選填題（ 占2 5 分）

13. 若 \(x, y\) 為兩正實數，且滿足 \(x^\frac{-1}{3}y^2=1\)及 \(2\log_{}y =1\)，則 \(\frac{x-y^2}{10}=\)
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14. 坐標平面上有一個半徑為 \(7\) 的圓，其圓心為 \(O\)點。已知圓上有 \(A,B\)兩點，且 \(\overline{AB}=8\)8，則內積 \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}=\)

15. 根據某國對失蹤輕航機的調查得知：失蹤輕航機中有 \(70\%\)後來會被找到，在被找到的輕航機當中，有 \(60\%\)裝設緊急定位傳送器；而沒被找到的失蹤輕航機當中，則有 \(90\%\)未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀時發送訊號，讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤，若已知該機有裝設緊急定位傳送器，則它會被找到的機率為何。（化為最簡分數）

16. 袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 \(10\) 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球被抽中的機率相等），若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 \(\frac{1}{15}\)，皆為綠色的機率為 \(\frac{2}{9}\)，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為何。（化為最簡分數）

17. 有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學， 畢業後老師邀聚餐， 餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快， 照相時不想相鄰， 而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側， 則可能的排列方式共有幾種。

第貳部分、混合題或非選擇題（ 占15 分）

18-20 題為題組

瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔身，而塔身的長度稱為塔高，塔身與鉛直虛線的夾角 \(\theta^{\circ}\)稱為該塔的傾斜度（\(0 < \theta < 90\)），又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。
[傾斜塔]

根據上述資料，試回答下列問題

18. 已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比，其傾斜度達到 \(18^{\circ}\)此傾斜度換算成弳（或弧度）為下列哪一個選項？（單選題，5 分）
(1) \(\frac{\pi}{36}\)
(2) \(\frac{\pi}{18}\)
(3) \(\frac{\pi}{20}\)
(4) \(\frac{\pi}{10}\)
(5) \(\frac{\pi}{8}\)

19. 中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔，它們的塔高分別為 \(48\)、\(19\)與 \(57\)（公尺），偏移距離分別為 \(2.3\)、\(2.3\)與 \(4\)（公尺），塔的傾斜度分別記為 \(\theta_1^{\circ}\)、\(\theta_2^{\circ}\)與\(\theta_3^{\circ}\)。試比較 \(\theta_1\)、\(\theta_2\)與\(\theta_3\)三數的大小關係。（非選擇題，4 分）

20. 假設有塔高相等的兩座鐵塔，它們的傾斜度 \(\alpha^{\circ}\)，\(\beta^{\circ}\)分別滿足 \(\sin \alpha^{\circ} =\frac{1}{5}\)與 \(\sin \beta^{\circ} =\frac{7}{25}\)。已知兩座鐵塔的偏移距離相差 \(20\) 公尺，試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。 （非選擇題，6 分）