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111學年度學科能力測驗試題
數學A考科
 
一、單選題（ 占30 分）

1. 某冰淇淋店最少需準備 \(n\)桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 \(100\) 種」。試問來店顧客從 \(n\) 桶中任選兩球（可為同一口味）共有幾種方法？
(1) \(101\) 
(2) \(105\) 
(3) \(115\) 
(4) \(120\) 
(5) \(225\)

2. 某品牌計算機在計算對數\(\log_{a}b\)時需按\(\log_{}(a，b)\)。某生在計算\(\log_{a}b\)時（其中a > 1且b > 1）順序弄錯，誤按\(\log_{}(b，a)\)，所得為正確值的\(\frac{9}{4}\)倍。試選出 \(a,b\)間的關係式。
(1) \(a^2=b^3\) 
(2) \(a^3=b^2\) 
(3) \(a^4=b^9\) 
(4) \(2a=3b\) 
(5) \(3a=2b\)

3. 在處理二維數據時，有種方法是將數據垂直投影到某一直線，並以該直線為數線，進而了解投影點所成一維數據的變異。下圖的一組二維數據，試問投影到哪一選項的直線，所得之一維投影數據的變異數會是最小？
[二維數據]

(1) \(y=2x\)
(2) \(y=-2x\)
(3) \(y=-x\)
(4) \(y=\frac{x}{2}\)
(5) \(y=-\frac{x}{2}\)

4. 設等差數列 \(a_n\) 之首項 \(a_1\) 與公差 \(d\) 皆為正數，且\(\log_{}a_1,\log_{}a_3,\log_{}a_6\)依序也成等差數列。試選出數列\(\log_{}a_1,\log_{}a_3,\log_{}a_6\)的公差。
(1) \(\log_{}d\) 
(2) \(\log_{}\frac{2}{3}\) 
(3) \(\log_{}\frac{3}{2}\) 
(4) \(\log_{}2d\) 
(5) \(\log_{}3d\) 

5. 已知某地區有 \(30\%\)的人口感染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性或陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為 \(80\%\)，將未染病者判為陰性的機率則為 \(60\%\)。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為 \(P\)；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為 \(P '\)。試問 \(\frac{P}{P'}\)最接近哪一選項？
(1) \(7\) 
(2) \(8\) 
(3) \(9\) 
(4) \(10\) 
(5) \(11\)

6. 設坐標平面上兩直線 \(L_1,L_2\)的斜率皆為正，且 \(L_1,L_2\)有一夾角的平分線斜率為 \(\frac{11}{9}\)。另一直線 \(L\) 通過點 \((2,\frac{1}{3})\)且與 \(L_1,L_2\) 所圍的有界區域為正三角形，試問 \(L\)的方程式為下列哪一選項？
(1) \(11x - 9 y = 19\) 
(2) \(9x + 11y = 25\) 
(3) \(11x + 9 y = 25\)
(4) \(27x - 33 y = 43\) 
(5) \(27x + 33y = 65\)

二、多選題（ 占30 分）

7. 設整數 n滿足 \(| 5n - 21| \ge 7|n|\) 。試選出正確的選項。
(1) \(| 5n - 21| \ge 21\) 
(2) \(-1 \le \frac{7n}{5n-21} \le1\) 
(3) \(7n \le 5n-21\) 
(4) \((5n-21)^2 \ge 49n^2\) 
(5) 滿足題設不等式的整數\(n\)有無窮多個

8. 坐標平面上，\(\triangle{ABC}\)三頂點的坐標分別為\(A(0,2),B(1,0),C(4,1)\)，試選出正確的選項。
(1) \(\triangle{ABC}\) 的三邊中， \(\overline{AC}\)最長
(2) \(\sin A < \sin C\)
(3) \(\triangle{ABC}\) 為銳角三角形
(4) \(\sin B =\frac{7\sqrt{2}}{10}\)
(5) \(\triangle{ABC}\) 的外接圓半徑比 \(2\) 小

9. 已知 \(P\)為 \(\triangle{ABC}\) 內一點，且 \(\vec{AP}= a\vec{AB}+b\vec{AC}\)，其中 \(a , b\) 為相異實數。設 \(Q,R\)在同一平面上，且 \(\vec{AQ}= b\vec{AB}+a\vec{AC}\)，\(\vec{AR}= a\vec{AB}+(b-0.05)\vec{AC}\)。試選出正確的選項。
(1) \(Q,R\)也都在 \(\triangle{ABC}\) 內部
(2) \(|\vec{AP}| = |\vec{AQ}|\) 
(3) \(\triangle{ABP}\)面積 \(= \triangle{ACQ}\)面積
(4) \(\triangle{BCP}\) 面積 \(= \triangle{BCQ}\)面積
(5) \(\triangle{ABP}\)面積 \(> \triangle{ABR}\)面積

10. 給定一實係數三次多項式函數 \(f(x) = ax^3 +bx^2 +cx+3\)。令 \(g(x) = f (-x) - 3\)，已知 \(y = g(x)\)圖形的對稱中心為 \((1,0)\)且 \(g(-1) < 0\)。試選出正確的選項。
(1) \(g(x) = 0\)有三相異整數根
(2) \(a < 0\)
(3) \(y = f(x)\)圖形的對稱中心為 \((-1,-3)\)
(4) \(f(100) < 0\)
(5) \(y = f(x)\)的圖形在點 \((-1, f (-1))\)附近會近似於一條斜率為 \(a\)的直線

11. 下圖為一個積木的示意圖，其中 \(ABC\) 為一直角三角形，\(\angle{ACB} = 90^{\circ}\)，\(\overline{AC}=5\)、\(\overline{BC}=6\)，且 \(ADEB\) 與 \(ADFC\) 皆為矩形。試選出正確的選項。
[直角三角形積木]

(1) 將此積木沿平面 \(ACE\)切下，可切得兩個四面體
(2) 平面\(ADEB\)與 \(ADFC\) 所夾銳角大於 \(45^{\circ}\)
(3) \(\angle{CEB}<\angle{AEB}\)
(4) \(\tan \angle{AEC} < \sin \angle{CEB}\)
(5) \(\angle{CEB <\angle{AEC}}\)

12. 設 \(f(x), g(x)\)皆為實係數多項式，其中 \(g(x)\)是首項係數為正的二次式。已知 \((g(x))^2\)除以 \(f(x)\)的餘式為 \(g(x)\)，且 \(y = f (x)\)的圖形與 \(x\)軸無交點。試選出不可能是 \(y = g(x)\)圖形頂點的 \(y\) 坐標之選項。
(1) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(2) \(1\)
(3) \(\sqrt{2}\)
(4) \(2\)
(5) \(\pi\)

三、選填題（ 占25 分）

13. 有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用 \(1500\) 枚代幣，抽中金卡的機率在前九次皆為 \(2\%\)，在第十次為 \(10\%\)。今某生有代幣 \(23000\) 枚，且不斷使用「十連抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為幾張。

14. 已知 \(a\)、\(b\) 為實數，且方程組 \(\begin{cases} {ax+5y+12z} &{=4} \\ {x+ay+\frac{8}{3}z} &{=7}  \\ {3x+8y+az} &{=1}\end{cases}\)恰有一組解，又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為\(\left [ \begin{array}{c:c} \begin{matrix} {1} &{2} &{b} \\ {0} &{b} &{5} \\ {0} &{0} &{b} \end{matrix} & \begin{matrix}  {7} \\ {-5} \\ {0} \end{matrix} \end{array} \right ]\)。則 \(a=\)，\(b=\)（化為最簡分數）

15. 如圖，王家有塊三角形土地\(\triangle{ABC}\)，其中 \(\overline{BC} =16\)公尺。政府擬徵收其中梯形 \(DBCE\)部分，開闢以直線 \(DE,BC\)為邊線的馬路，其路寬為\( h\)公尺，這讓王家土地只剩原有面積的 \(\frac{9}{16}\)。經協商，改以開闢平行直線 \(BE,FC\)為邊線的馬路，且路寬不變，其中 \(\angle{EBC} =30^{\circ}\)則只需徵收 \(\triangle{BCE}\)區域。依此協商，王家剩餘的土地\(\triangle{ABE}\)有多少平方公尺。
[三角形土地]

16. 坐標空間中，平面 \(x - y + 2z = 3\)上有兩相異直線 \(L: \frac{x}{2}-1=y+1=-2z\)與 \(L'\)。已知 \(L\)也在另一平面 \(E\) 上，且 \(L'\) 在 \(E\)的投影與 \(L\)重合。
則 \(E\)的方程式為\(x+\)__\(y+\)__\(z=\)__。

17. 坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為 \((-1,2,1),(-4,1,3),(2,0,-3)\)，另一面之一頂點在 \(xy\) 平面上且與原點距離為 \(1\)。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為何。

第貳部分、混合題或非選擇題（ 占15 分）

18-20 題為題組

坐標平面上有一環狀區域由圓 \(x^2 + y^2 = 3\)的外部與圓 x^2 + y^2 = 4的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 \(1\) 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 \(x\) 軸上方的某區域 \(R\) 。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 \(C_1：x^2+y^2=3(y \ge 0)\)、 \(C_2：x^2+y^2=4(y \ge 0)\)上移動。開始時掃描棒黑端在點 \(A( \sqrt{3},0)\)，白端在 \(C_2\) 的點 \(B\) 。接著黑、白兩端各沿著 \(C_1\) 、\(C_2\) 逆時針移動，直至白端碰到 \(C_2\) 的點 \(B'(-2,0)\)便停止掃描。
[坐標平面上半圓]

18. 試問點 \(B\) 的坐標為下列哪一選項？（單選題，3 分）
(1) \((0,2)\)
(2) \((1,\sqrt{3})\)
(3) \((\sqrt{2},\sqrt{2})\)
(4) \((\sqrt{3},1)\)
(5) \((2,0)\)

19. 令 \(O\) 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 \(A',B'\)。試在答題卷上作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域 \(R\)；並於求解區內求 \(\cos\angle{OA'B'}\)及點 \(A'\)的極坐標。
（非選擇題，6 分）

20. （承19 題）令 \(\Omega\) 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 \(\Omega\)與 \(R\) 的面積。
（非選擇題，6 分）