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103學年度學科能力測驗試題
數學考科

第壹部分：選擇題（占60分）
一、單選題（占30分）
說明：第1題至第6題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 請問下列哪一個選項等於 \(log(2^{(3^5)})\)？
(1) \(5\log (2^{3} )\)
(2) \(3\times 5\log 2\) 
(3) \(5\log 2\times \log 3 \)
(4) \(5\left(\log 2+\log 3\right)\)
(5) \(3^{5} \log 2\)

2. 令\(A(5,0,12)\)、\(B(-5,0,12)\)為坐標空間中之兩點，且令 \(P\)為 \(xy\)平面上滿足 \(\overline{PA}=\overline{PB}=13\)的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 \(P\)？
(1) \((5,0,0)\)
(2) \((5,5,0)\)
(3) \((0,12,0)\)
(4) \((0,0,0)\)
(5) \((0,0,24)\)

3. 在坐標平面上，以 \((1,1),\; (-1,1),\; (-1,-1)\)及\((1,-1)\)等四個點為頂點的正方形，與圓 \(x^{2} +y^{2} +2x+2y+1=0\)有幾個交點？
(1) \(1\)個
(2) \(2\)個
(3) \(3\)個
(4) \(4\)個
(5) \(0\)個

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4. 請問滿足絕對值不等式\(|4x-12|\le 2x\)的實數\(x\)所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？
(1) \(1\)
(2) \(2\)
(3) \(3\)
(4) \(4\)
(5) \(6\)

5. 設 \((1+\sqrt{2} )^{6} =a+b\sqrt{2} \)，其中 \(a,b\)為整數。請問 \(\textit{b}\)等於下列哪一個選項？
(1) \(C_{0}^{6} +2C_{2}^{6} +2^{2} C_{4}^{6} +2^{3} C_{6}^{6}\)
(2) \(C_{1}^{6} +2C_{3}^{6} +2^{2} C_{5}^{6}\)
(3) \(C_{0}^{6} +2C_{1}^{6} +2^{2} C_{2}^{6} +2^{3} C_{3}^{6} +2^{4} C_{4}^{6} +2^{5} C_{5}^{6} +2^{6} C_{6}^{6}\)
(4) \(2C_{1}^{6} +2^{2} C_{3}^{6} +2^{3} C_{5}^{6}\)
(5) \(C_{0}^{6} +2^{2} C_{2}^{6} +2^{4} C_{4}^{6} +2^{6} C_{6}^{6}\)

6. 某疾病可分為兩種類型：第一類占\(70\%\)，可藉由藥物A治療，其每一次療程的成功率為\(70\%\)，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物A治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物A第一次療程失敗的情況下，進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
(1) \(0.25\)
(2) \(0.3\)
(3) \(0.35\)
(4) \(0.4\)
(5) \(0.45\)

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二、多選題（占30分）
說明：第7題至第12題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7. 設坐標平面上，\(\textit{x}\)坐標與 \(\textit{y}\)坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。
(1) \(y=x^{2}\)
(2) \(3y=9x+1\)
(3) \(y^{2} =-x-2 \)
(4) \(x^{2} +y^{2} =3\)
(5) \(y=\log _{9} x+\frac{1}{2}\)

8. 關於下列不等式，請選出正確的選項。
(1) \(\sqrt{13} >3.5 \)
(2) \(\sqrt{13} <3.6\)
(3) \(\sqrt{13} -\sqrt{3} >\sqrt{10}\)
(4) \(\sqrt{13} +\sqrt{3} >\sqrt{16}\)
(5) \(\frac{1}{\sqrt{13} -\sqrt{3} } >0.6\)

9. 一物體由坐標平面中的點 \((-3,6)\)出發，沿著向量所指的方向持續前進，可以進入第一象限。請選出正確的選項。
(1) \(\vec {v}=(1,-2)\)
(2) \(\vec {v}=(1,-1) \)
(3) \(\vec {v}=(0.001,0)\)
(4) \(\vec {v}=(0.001,1)\)
(5) \(\vec {v}=(-0.001,1)\)

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10. 設 \(f(x)\)為實係數二次多項式，且已知 \(f(1)>0\)、\(f(2)<0\)、\(f(3)>0\)。令 \(g(x)=f(x)+(x-2)(x-3)\)，請選出正確的選項。
(1) \(y=f(x)\)的圖形是開口向下的拋物線
(2) \(y=g(x)\)的圖形是開口向下的拋物線
(3) \(g(1)>f(1)\)
(4) \(g(x)=0\)在\(1\)與\(2\)之間恰有一個實根
(5) 若\(\alpha \)為\(f(x)=0\)的最大實根，則 \(g(\alpha )>0\)

11. 設 \(a_{1} =1\)且 \(a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ,\ldots\) 為等差數列。請選出正確的選項。
(1) 若\(a_{100} >0\)，則\(a_{1000} >0\)
(2) 若\(a_{100} <0\)，則\(a_{1000} <0\)
(3) 若\(a_{1000} >0\)，則\(a_{100} >0\)
(4) 若\(a_{1000} <0\)，則\(a_{100} <0\)
(5) \(a_{1000} -a_{10} =10\, (a_{100} -a_{1} )\)

12. 所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比，以百分數表達（進行統計分析時，所有年齡以整數表示）。下表為去年某國四個年齡範圍的失業率，\(\textbf{{其中的年齡範圍有所重疊}}\)。
 

 請根據上表選出正確的選項。
(1) 在上述四個年齡範圍中，以\(40\mathrm{\sim}44\)歲的失業率為最高
(2) \(40\mathrm{\sim}44\)歲勞動力人數多於\(45\mathrm{\sim}49\)歲勞動力人數
(3) \(40\mathrm{\sim}49\)歲的失業率等於\((\frac{13.17+7.08}{2} )\%\)
(4) \(35\mathrm{\sim}39\)歲勞動力人數少於\(40\mathrm{\sim}44\)歲勞動力人數
(5) 如果\(40\mathrm{\sim}44\)歲的失業率降低，則\(45\mathrm{\sim}49\)歲的失業率會升高

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第貳部分：選填題（占40分）
說明：1.第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13–36）。2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設圓 \(\textit{O}\)之半徑為\(24\)，\(\overline{OC}=26\)，\(\overline{OC}\)交圓 \(\textit{O}\)於\(\textit{A}\)點，\(\overline{CD}\)切圓 \(\textit{O}\)於 \(\textit{D}\)點，\(\textit{B}\)為\(\textit{A}\)點到\(\overline{OD}\)的垂足，如右邊的示意圖。則\(\overline{AB}=\)。(化為最簡分數)
[圓與相似三角形]

B. 坐標平面上，若直線 \(y=ax+b\)(其中 \(a,b\)為實數)與二次函數 \(y=x^{2}\) 的圖形恰交於一點，亦與二次函數 \(y=(x-2)^{2} +12\)的圖形恰交於一點，則 \( a=\)，\(b=\)。

C. 小鎮\(A\)距離一筆直道路\(6\)公里，並與道路上的小鎮\(B\)相距\(12\)公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與\(A, B\)等距，則此超級市場與\(A\)的距離須為幾公里。(化為最簡根式)

D. 坐標空間中有四點\(A(2,0,0)\)、\(B(3,4,2)\)、\(C(-2,4,0)\)與 \(D(-1,3,1)\)。若點 \(P\)在直線 \(CD\)上變動，則內積 \(\vec {PA} \cdot \vec {PB}\) 之最小可能值為何。(化為最簡分數)

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E. 設 \(\vec {u},\vec {v}\)為兩個長度皆為 \(1\)的向量。若 \(\vec {u}+\vec {v}\)與 \(\vec {u}\)的夾角為 \(75{}^\circ\) ，則 \(\vec {u}\)與 \(\vec {v}\)的內積為。(化為最簡根式)

F. 一個房間的地面是由 \(12\)個正方形所組成，如右圖。今想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形。則用 \(6\)塊瓷磚舖滿房間地面的方法有幾種。
[正方形磁磚組合]

G. 已知 \(\left [ \begin{matrix} {a} &{b} \\ {c} &{d} \end{matrix} \right ]\)是一個轉移矩陣，並且其行列式(值)為 \(\frac{5}{8}\) 。則 \(a+d=\)。(化為最簡分數)

H. 如圖，正三角形 \(ABC\)的邊長為 \(1\)，並且 \(\angle 1=\angle 2=\angle 3=15{}^\circ\) 。已知 \(\sin 15{}^\circ =\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}\) ，則正三角形 \(DEF\)的邊長為。(化為最簡根式)
[正三角形]