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103學年度學科能力測驗試題
數學考科

第壹部分：選擇題（占60分）
一、單選題（占30分）
說明：第1題至第6題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 請問下列哪一個選項等於 $log(2^{(3^5)})$？
(1) $5\log (2^3)$
(2) $3\times 5\log 2$ 
(3) $5\log 2\times \log 3$
(4) $5(\log 2+\log 3)$
(5) $3^5\log 2$

2. 令$A(5,0,12)$、$B(-5,0,12)$為坐標空間中之兩點，且令 $P$為 $xy$平面上滿足 $\overline{PA}=\overline{PB}=13$的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 $P$？
(1) $(5,0,0)$
(2) $(5,5,0)$
(3) $(0,12,0)$
(4) $(0,0,0)$
(5) $(0,0,24)$

3. 在坐標平面上，以 $(1,1),(-1,1),(-1,-1)$及$(1,-1)$等四個點為頂點的正方形，與圓 $x^2+y^2+2x+2y+1=0$有幾個交點？
(1) $1$個
(2) $2$個
(3) $3$個
(4) $4$個
(5) $0$個

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4. 請問滿足絕對值不等式$|4x-12|\le 2x$的實數$x$所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？
(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $6$

5. 設 $(1+\sqrt{2}{)}^6=a+b\sqrt{2}$，其中 $a,b$為整數。請問 $\mathit{\text{b}}$等於下列哪一個選項？
(1) $C_0^6+2C_2^6+2^2{C}_4^6+2^3{C}_6^6$
(2) $C_1^6+2C_3^6+2^2{C}_5^6$
(3) $C_0^6+2C_1^6+2^2{C}_2^6+2^3{C}_3^6+2^4{C}_4^6+2^5{C}_5^6+2^6{C}_6^6$
(4) $2C_1^6+2^2{C}_3^6+2^3{C}_5^6$
(5) $C_0^6+2^2{C}_2^6+2^4{C}_4^6+2^6{C}_6^6$

6. 某疾病可分為兩種類型：第一類占$70\mathrm{\%}$，可藉由藥物A治療，其每一次療程的成功率為$70\mathrm{\%}$，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物A治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物A第一次療程失敗的情況下，進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
(1) $0.25$
(2) $0.3$
(3) $0.35$
(4) $0.4$
(5) $0.45$

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二、多選題（占30分）
說明：第7題至第12題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7. 設坐標平面上，$\mathit{\text{x}}$坐標與 $\mathit{\text{y}}$坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。
(1) $y=x^2$
(2) $3y=9x+1$
(3) $y^2=-x-2$
(4) $x^2+y^2=3$
(5) $y={\log }_{9}x+\frac{1}{2}$

8. 關於下列不等式，請選出正確的選項。
(1) $\sqrt{13}>3.5$
(2) $\sqrt{13}<3.6$
(3) $\sqrt{13}-\sqrt{3}>\sqrt{10}$
(4) $\sqrt{13}+\sqrt{3}>\sqrt{16}$
(5) $\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}>0.6$

9. 一物體由坐標平面中的點 $(-3,6)$出發，沿著向量所指的方向持續前進，可以進入第一象限。請選出正確的選項。
(1) $\overrightarrow{v}=(1,-2)$
(2) $\overrightarrow{v}=(1,-1)$
(3) $\overrightarrow{v}=(0.001,0)$
(4) $\overrightarrow{v}=(0.001,1)$
(5) $\overrightarrow{v}=(-0.001,1)$

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10. 設 $f(x)$為實係數二次多項式，且已知 $f(1)>0$、$f(2)<0$、$f(3)>0$。令 $g(x)=f(x)+(x-2)(x-3)$，請選出正確的選項。
(1) $y=f(x)$的圖形是開口向下的拋物線
(2) $y=g(x)$的圖形是開口向下的拋物線
(3) $g(1)>f(1)$
(4) $g(x)=0$在$1$與$2$之間恰有一個實根
(5) 若$\alpha$為$f(x)=0$的最大實根，則 $g(\alpha )>0$

11. 設 $a_1=1$且 $a_1,a_2,a_3,\dots$ 為等差數列。請選出正確的選項。
(1) 若$a_{100}>0$，則$a_{1000}>0$
(2) 若$a_{100}<0$，則$a_{1000}<0$
(3) 若$a_{1000}>0$，則$a_{100}>0$
(4) 若$a_{1000}<0$，則$a_{100}<0$
(5) $a_{1000}-a_{10}=10(a_{100}-a_1)$

12. 所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比，以百分數表達（進行統計分析時，所有年齡以整數表示）。下表為去年某國四個年齡範圍的失業率，$\mathbf{\text{{其中的年齡範圍有所重疊}}}$。
 

 請根據上表選出正確的選項。
(1) 在上述四個年齡範圍中，以$40\sim 44$歲的失業率為最高
(2) $40\sim 44$歲勞動力人數多於$45\sim 49$歲勞動力人數
(3) $40\sim 49$歲的失業率等於$(\frac{13.17+7.08}{2})\mathrm{\%}$
(4) $35\sim 39$歲勞動力人數少於$40\sim 44$歲勞動力人數
(5) 如果$40\sim 44$歲的失業率降低，則$45\sim 49$歲的失業率會升高

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第貳部分：選填題（占40分）
說明：1.第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13–36）。2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設圓 $\mathit{\text{O}}$之半徑為$24$，$\overline{OC}=26$，$\overline{OC}$交圓 $\mathit{\text{O}}$於$\mathit{\text{A}}$點，$\overline{CD}$切圓 $\mathit{\text{O}}$於 $\mathit{\text{D}}$點，$\mathit{\text{B}}$為$\mathit{\text{A}}$點到$\overline{OD}$的垂足，如右邊的示意圖。則$\overline{AB}=$。(化為最簡分數)
[圓與相似三角形]

B. 坐標平面上，若直線 $y=ax+b$(其中 $a,b$為實數)與二次函數 $y=x^2$ 的圖形恰交於一點，亦與二次函數 $y=(x-2{)}^2+12$的圖形恰交於一點，則 $a=$，$b=$。

C. 小鎮$A$距離一筆直道路$6$公里，並與道路上的小鎮$B$相距$12$公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與$A,B$等距，則此超級市場與$A$的距離須為幾公里。(化為最簡根式)

D. 坐標空間中有四點$A(2,0,0)$、$B(3,4,2)$、$C(-2,4,0)$與 $D(-1,3,1)$。若點 $P$在直線 $CD$上變動，則內積 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 之最小可能值為何。(化為最簡分數)

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E. 設 $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$為兩個長度皆為 $1$的向量。若 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$與 $\overrightarrow{u}$的夾角為 $75{}^{\circ }$ ，則 $\overrightarrow{u}$與 $\overrightarrow{v}$的內積為。(化為最簡根式)

F. 一個房間的地面是由 $12$個正方形所組成，如右圖。今想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形。則用 $6$塊瓷磚舖滿房間地面的方法有幾種。
[正方形磁磚組合]

G. 已知 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$是一個轉移矩陣，並且其行列式(值)為 $\frac{5}{8}$ 。則 $a+d=$。(化為最簡分數)

H. 如圖，正三角形 $ABC$的邊長為 $1$，並且 $\mathrm{\angle }1=\mathrm{\angle }2=\mathrm{\angle }3=15{}^{\circ }$ 。已知 $\sin 15{}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ，則正三角形 $DEF$的邊長為。(化為最簡根式)
[正三角形]