說明

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題目

一、非選題：
1.　已知二次函數的圖形經過平移後會與$y=2x^2$ 的圖形疊合，且其對稱軸為$x=-3$ ，又通過點$\left(-2,5\right)$ ，求此二次函數。

答案：$y={\left(x+3\right)}^2+3$

2.　已知二次函數圖形的頂點為$\left(1,-4\right)$ ，且通過點$\left(3,4\right)$ ，求此二次函數。

答案：$y=2{\left(x-1\right)}^2-4$

3.　若將二次函數$y=-3{\left(x-5\right)}^2+7$ 的圖形向上平移$4$ 個單位，再向左平移$2$ 個單位後，其圖形的最高點或最低點坐標為何？

答案：最高點坐標為 $\left(3,11\right)$

4.　判斷下列二次函數圖形的開口方向、對稱軸及最高點或最低點坐標。
(1)$y=2{\left(x-1\right)}^2+4$
(2)$y=-5{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-6$

答案：(1) 開口向上，對稱軸$x=1$ ，最高點坐標為$\left(1,4\right)$ ；
(2) 開口向下，對稱軸$x=-\frac{1}{2}$ ，最高點坐標為$\left(-\frac{1}{2},-6\right)$

5.　觀察$y=\frac{1}{3}{\left(x+4\right)}^2$ 的圖形，並說明其開口方向、對稱軸及最高點或最低點坐標。

答案：開口向上，對稱軸為$x=-4$ ，最低點坐標為$\left(-4,0\right)$

6.　二次函數$y=-2x^2+5$ 的圖形向下平移$4$ 個單位後的二次函數為何？

答案：$y=-2x^2+1$

7.　二次函數$y=-2x^2+8$ 的圖形通過$A$ 、$B$ 兩點，且$\overline{AB}$ 與$x$ 軸平行。已知$A$ 點的$x$ 坐標為$3$ ，求$B$ 點坐標。

答案：$\left(-3,-10\right)$

8.　已知二次函數$y=f\left(x\right)$ 及$y=g\left(x\right)$ 的圖形對稱於$x$ 軸，其中$y=f\left(x\right)$ 圖形的頂點為原點，且$g\left(x\right)=27$ ，則$f\left(x\right)$ 為何？

答案：$y=f\left(x\right)=-3x^2$

9.　二次函數$y=f\left(x\right)$ 及其上一點$P\left(4,2\right)$ ，經過平移後與$y=-2{\left(x+2\right)}^2+3$ 的圖形完全疊合，且$P$ 點移至$\left(0,-5\right)$ ，求$f\left(x\right)$ 為何？

答案：$y=f\left(x\right)=-2{\left(x-2\right)}^2+10$

10.　若二次函數$y=x^2+ax+b$ 圖形的頂點為 $\left(4,6\right)$ ，求$a=$ ？$b=$ ？

答案：$a=-8$ ，$b=22$

11.　若二次函數$y=a{x}^2+bx+c$ 的圖形通過$\left(0,0\right)$ 、$\left(1,5\right)$ 與$\left(-1,3\right)$ 三點，求$a-b+c=$ ？

答案：$3$

12.　判斷下列二次函數圖形與x軸的交點個數：
(1)$y=-x^2+4x-1$
(2)$y=2x^2-x+3$

答案：(1) 兩個交點；
(2) 沒有交點

13.　求下列二次函數圖形與x軸的交點坐標：
(1)$y=6\left(x+5\right)\left(x-7\right)$
(2)$y=2x^2-6x-20$

答案：(1)$\left(-5,0\right)$ 與$7,0$
(2)$\left(5,0\right)$ 與$\left(-2,0\right)$

14.　有一二次函數$y=x^2-5x-14$ 的圖形，求：
(1) 與$y$ 軸的交點坐標。
(2) 與$x$ 軸的交點坐標。

答案：(1)$\left(0,-14\right)$ ；
(2)$\left(7,0\right)$ 、$\left(-2,0\right)$

15.　利用配方法求下列二次函數的最大值或最小值：
(1)$y=-\frac{1}{2}{x}^2+3x-5$
(2)$y=6x^2-4x$

答案：(1) 當$x=3$ 時，$y$ 有最大值$-\frac{1}{2}$ ；
(2) 當$x=\frac{1}{3}$ 時，$y$ 有最小值$-\frac{2}{3}$

16.　若函數$y=x^2+5x+m$ 的圖形與$x$ 軸不相交，求$m$ 的範圍。

答案：$m>\frac{25}{4}$

17.　求下列二次函數的最大值或最小值：
(1)$y=8{\left(x-5\right)}^2+1$
(2)$y=-0.2{\left(x+3\right)}^2+4$

答案：(1) 當$x=5$ 時，$y$ 有最小值$1$ ；
(2) 當$x=-3$ 時，$y$ 有最大值$4$

18.　將二次函數$y=2x^2-4x+4$ 的圖形向右平移$2$ 個單位，再向下平移$3$ 個單位，得到新圖形，求：
(1) 新圖形頂點。
(2) 新圖形與$x$ 軸的交點坐標。

答案：(1)$\left(3,-1\right)$ ；(2)$\left(3+\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$ 、$\left(3-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$

19.　判斷下列二次函數圖形與x軸的交點個數。
(1)$y=x^2-8x+3$
(2)$y=2x^2+5$
(3)$y=x^2-7x+\frac{49}{4}$

答案：(1) 兩個交點；(2) 沒有交點；(3) 一個交點

20.　已知二次函數$y=a{x}^2-6x+4$ 的圖形與$x$ 軸交於兩點，求$a$ 值的範圍。

答案：$a<\frac{9}{4}$ ，$a\ne 0$

21.　求下列二次函數圖形與x軸的交點坐標：
(1)$y=x^2-6x+9$
(2)$y=5x^2-x-3$

答案：(1)$\left(3,0\right)$ ；(2)$\left(\frac{1+\sqrt{61}}{10},0\right)$ 與$\left(\frac{1-\sqrt{61}}{10},0\right)$

22.　求二次函數$y=-2x^2-5x+3$ 的圖形與$y$ 軸的交點坐標。

答案：$\left(0,3\right)$

23.　利用配方法求函數$y=-3x^2+12x-6$ 的最大值或最小值。

答案：當$x=2$ 時，$y$ 有最大值$6$

24.　二次函數$y=a{\left(x-1\right)}^2+k$ 的圖形通過$\left(1,1\right)$ 及$\left(-1,9\right)$ 兩點，試求其函數的最大值或最小值。

答案：最小值$1$

25.　求下列各二次函數的頂點及其最大值或最小值：
(1)$y=-5{\left(x+6\right)}^2+1$
(2)$y=3{\left(x-4\right)}^2-8$

答案：(1) 頂點$\left(-6,1\right)$ ，最大值$1$ ；
(2) 頂點$\left(4,-8\right)$ ，最小值$-8$

26.　某汽車行駛的距離$S$ (公尺) 與行駛時間$t$ (秒) 之間的關係是$S=9t+0.5t^2$ ，試問：
(1)$12$ 秒後汽車行駛了多遠？
(2) 汽車行駛$380$ 公尺需要多少時間？

答案：(1)$180$ 公尺
(2)$20$ 秒

27.　某商品現在的定價為每件$60$ 元，每星期可以賣出$300$ 件。市場調查反應如下：如果調漲價格$1$ 元，則每個星期就會少賣$10$ 件；如果調降價格$1$ 元，則每個星期就會多賣$10$ 件，試問定價應該為多少元，才能獲得最高收入？最高收入為多少元？

答案：定價為$45$ 元時，有最高收入$20250$ 元

28.　王先生用$50$ 公尺的圍籬在河邊圍起一個長方形養殖場，但是沿河岸的一邊不圍，試問所圍的養殖場最大面積為多少平方公尺？




答案：$312.5$ 平方公尺

29.　已知兩數的差為$8$ ，則兩數的積最小為多少？

答案：$-16$

30.　已知兩數的和為$10$ ，則兩數的積最大為多少？

答案：$25$

31.　設WOWO百貨公司 MP3隨身聽每台售價$x$ 元時，每月可售出$\left(1000-x\right)$ 個。已知每個MP3成本為$800$ 元，試問每台售價多少元時，每月可獲取最大利潤？此最大利潤為多少元？

答案：售價$900$ 元，最大利潤$10000$ 元

32.　兩股長的和為$12$ 公分的直角三角形中，面積最大為多少平方公分？

答案：$18$ 平方公分

33.　根據市場調查，某吊飾定價$100$ 元時，平均每天可賣出$80$ 個，若每個降價$10$ 元，平均每天多賣出$10$ 個。試問定價為多少元時，所獲得的總收入最多？

答案：定價$90$ 元時，總收入會最多

34.　將$12$ 分成兩數，其平方和最小為多少？

答案：$72$

35.　將$60$ 分成兩數，其乘積最大為多少？

答案：$900$

36.　某電影院每張票價$100$ 元時，觀眾有$800$ 人。若票價每減少$5$ 元，觀眾就增加$50$ 人，求票價每張應訂為多少，電影院的收入才能最大？

答案：$90$ 元

37.　棒球選手擊出一支安打，若球飛行的水平距離為$x$ 公尺時，球離地面高度為$y$ 公尺，且$x$ 與$y$ 的關係式為$y=-\frac{1}{500}\left(x^2-150x-1600\right)$ ，試問球在擊出後幾公尺處落地？而球最高離地面多少公尺？

答案：擊出後$160$ 公尺處落地，最高離地面$14.45$ 公尺

二、填充題：
1.　將二次函數$y=4x^2+1$ 與$y=-4x^2-1$ 畫在同一坐標平面上，下列有關這兩個函數圖形的敘述，哪些是錯誤的？
(A) 有相同的開口方向
(B) 開口的大小相等
(C) 有相同的頂點坐標
(D) 有相同的對稱軸
答：$\_\_$

答案：(A)(C)
題幹解析：(A) 兩個函數的開口方向不同
(C) 兩函數的頂點坐標不同，分別為$\left(0,1\right)$ 、$\left(0,-1\right)$

2.　若二次函數$y=a{x}^2+bx+c$ 的圖形對稱於$x=5$ ，且又通過$\left(0,1\right)$ 、$\left(4,25\right)$ ，則此二次函數為$\_\_$ 。

答案：$y=-{\left(x-5\right)}^2+26$

3.　有一拋物線的對稱軸為$x=5$ ，若此拋物線和$y=7$ 交於$A\left(3,7\right)$ 、$B\left(a,b\right)$ 兩點，則$a-b=\_\_$ 。

答案：$0$

4.　設$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ，若$f\left(1\right)=7$ ，$f\left(0\right)=3$ ，則$a+b=\_\_$ 。
答案：$4$

5.　設$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ，已知$f\left(0\right)=5$ ，$f\left(1\right)=3$ ，$f\left(2\right)=6$ ，則$a+b+c=\_\_$ 。

答案：$3$

6.　將二次函數$y=3x^2-1$ 的圖形以$x$ 軸為對稱軸作線對稱圖形，則其線對稱圖形的二次函數為$\_\_$ 。

答案：$y=-3x^2+1$

7.　若點$A\left(-4,3\right)$ 是拋物線$y=\frac{9}{16}{x}^2$ 上的一個點，則$A$ 對$y$ 軸的對稱點為$\_\_$ 。

答案：$\left(4,3\right)$

8.　若$y=x^2+kx+m$ 的圖形通過$\left(1,5\right)$ 和$\left(0,7\right)$ 兩點，則$m=\text{\_\_}$ ，$k=\_\_$ 。

答案：$7$ ，$-3$

9.　若$y=x^2+ax+b$ 的圖形頂點是$\left(2,8\right)$ ，則$3a+b=\_\_$ 。

答案：$0$

10.　若$y=f\left(x\right)=-{\left(x+a\right)}^2+k$ 圖形的頂點為$\left(-2,9\right)$ ，則$k-a=\_\_$ 。

答案：$7$

11.　若$y=a{x}^2+bx+c$ 的圖形通過$\left(0,0\right)$ 與$\left(4,24\right)$ ，則$4a+b+c=\_\_$ 。
答案：$6$

12.　若$\left(1,a\right)$ 、$\left(-2,b\right)$ 在$y=5-x^2$ 的圖形上，則$a+b=\_\_$ 。

答案：$5$

13.　二次函數$y=\frac{1}{2}{x}^2+a$ 的圖形通過$\left(8,2\right)$ ，則$a=\_\_$ 。

答案：$-30$

14.　若二次函數$y=x^2+3x+a$ 的圖形和$x$ 軸無交點，則$k$ 之範圍為$\_\_$ 。

答案：$a>\frac{9}{4}$

15.　二次函數$y=x^2-2kx+5$ 和$x$ 軸交於一點，則$k=\_\_$ 。

答案：$\pm \sqrt{5}$

16.　二次函數$y=x^2+10x+k$ 有最小值$3$ ，則$k=\_\_$ 。

答案：$28$

17.　二次函數$y=a{x}^2+bx+c$ 在$x=-1$ 時有最小值$6$ ，則此二次函數的對稱軸為$\_\_$ 。

答案：$x+1=0$

18.　二次函數$y=8x^2-48x$ 圖形的頂點落在第$\_\_$ 象限。

答案：四

19. $y=\frac{1}{2}{x}^2+x-1$ 的最小值為$\_\_$ 。

答案：$-\frac{3}{2}$

20. $y=3x^2-2x-1$ 圖形的頂點為$\_\_$ 。

答案：$\left(\frac{1}{3},-\frac{4}{3}\right)$

21. $y=-2x^2+8x-1$ 圖形之頂點在第$\_\_$ 象限。

答案：一

22.　若$x+y=30$ ，且$x$ 、$y$ 均為正數，則$xy$ 之最大值為$\_\_$ 。

答案：$225$

23.　某果農根據以往的經驗，某品種芭樂在每單位面積的土地上種$50$ 棵時，每棵每年可以生產芭樂$200$ 顆。若每加種$1$ 棵，每棵每年減少$1$ 顆芭樂，則每單位種$\_\_$ 棵，才會得到產量最多的芭樂。

答案：$125$
題幹解析：設加種$x$ 棵，則
產量$=\left(50+x\right)\left(200-x\right)$

24.　阿文賣西瓜，一顆$200$ 元可以賣出$600$ 顆，每顆調漲$10$ 元時，就會少賣$20$ 顆，則西瓜每顆賣$\_\_$ 元時，可以獲利最多。
答案：$250$
題幹解析：設調漲$10x$ 元，則
獲利$=\left(200+10x\right)\left(600-20x\right)$

25.　公園有一噴水池離地面$2$ 公尺，經過$x$ 秒後，噴出水柱高$y$ 公尺。已知$x$ 與$y$ 關係式為$y=60x-5x^2$ ，則在第$\_\_$ 秒時水柱高度會最高。

答案：$6$

26.　毛毛站在草地上，向上丟擲出一顆籃球。已知此顆籃球以抛物線$y=-x^2+4x+1$ 的路徑行進，則籃球的最高點是$\_\_$ 。
答案：$\left(2,5\right)$