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題目

1.　設$ABCD$ 為一梯形，$P$ 、$Q$ 、$R$ 、$S$ 依次為四邊中點，則四邊形$PQRS$ 不可能為下列哪一種四邊形？
(A)菱形
(B)梯形
(C)長方形
(D)正方形　

答案：(B)

2.　圓$O$ 中，若$\overline{AB}$ 、$\overline{CD}$ 為兩直徑，欲證明$△OAC\cong △OBD$ ，則可使用哪一個全等性質？

答案：$SAS$
題幹解析：$\angle AOC=\angle BOD$ (　對頂角　)
$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}$ (　半徑　)

3.　若直線$L$ 為$\overline{BC}$ 的中垂線，且$A$ 為$L$ 上一點，則$△ABC$ 必為何種三角形？
(A)正三角形
(B)等腰三角形
(C)直角三角形
(D)不等邊三角形　

答案：(B)

4.　若使用四個全等的三角形可以緊密拼成一個菱形，則所使用的三角形必須為何種三角形？
(A)正三角形
(B)等腰三角形
(C)直角三角形
(D)等腰直角三角形　

答案：(C)

5.　若三角形中任一內角的角平分線皆平分對邊，則此三角形必為何種三角形？
(A)正三角形
(B)直角三角形
(C)等腰三角形
(D)不一定　

答案：(A)

6.　兩個直角三角形在下列何種條件下不一定全等？
(A)兩銳角對應相等
(B)一斜邊及一股等長
(C)兩股對應相等
(D)一斜邊及一銳角對應相等　

答案：(A)

7.　已知$a$ 、$b$ 、$c$ 為正整數，其中$a$ 為奇數，$b$ 為偶數，且$c^2=3a^2+b^3+5ab$ ，則下列何者正確？
(A)$c$ 必為奇數
(B)$c$ 必為偶數
(C)$c$ 可能是奇數，也可能是偶數
(D)$c$ 必為$3$ 的倍數　

答案：(A)

8.　在$△ABC$ 與$△DEF$ 中，若$\angle A=\angle D$ ，且$\angle B=\angle E$ ，則再加上下列哪一個條件，仍不能確定兩個三角形全等？
(A)$\overline{AB}=\overline{DE}$
(B)$\angle C=\angle F$
(C)$\overline{BC}=\overline{EF}$
(D)$\overline{AC}=\overline{DF}$

答案：(B)

9.　 在$△ABC$ 與$△DEF$ 中，已知$\angle A=\angle D$ ，$\overline{AB}=\overline{DE}$ ，$\overline{BC}=\overline{EF}$ ，則下列何者正確？
(A)根據$SAS$ 全等性質可知$△ABC\cong △DEF$
(B)根據$RHS$ 性質可知$△ABC\cong △DEF$
(C)根據$SSA$ 性質可證明$△ABC\cong △DEF$
(D)$△ABC$ 與$△DEF$ 不一定全等　

答案：(D)

10.　在$△ABC$ 與$△DEF$ 中，已知$\overline{AB}=\overline{EF}$ ，$\overline{AC}=\overline{DE}$ ，則再加上下列哪些條件後就可以證明兩三角形全等？
(甲)$\angle A=\angle E$
(乙)$\angle B=\angle F$
(丙)$\angle C=\angle D$
(丁)$\overline{BC}=\overline{DF}$
(A)(甲)或(丁)
(B)(乙)或(丁)
(C)(丙)或(丁)
(D)只有(丁)　
答案：(A)

11.　在$△ABC$ 中，若$\overline{AB}=\overline{AC}=30$ 公分，$\overline{BC}=36$ 公分，則$\angle A$ 的角平分線長為多少公分？

答案：$24$

12.　在$△ABC$ 中，已知$\overline{AB}=\overline{AC}$ ，則下列敘述何者錯誤？
(A)$\angle B=\angle C$
(B)$\angle A+\angle B+\angle C=180°$
(C)$\angle A$ 可能為鈍角
(D)$\angle B$ 可能為鈍角　

答案：(D)

13.　在$△ABC$ 中，$P$ 點在$△ABC$ 內部，已知$\angle B=74°$ ，$\angle C=62°$ ，試問$\angle BPC$ 可能是多少度？

答案：$50$

14.　用兩個全等的直角三角形必定可以緊密拼成一個什麼樣的大三角形？
(A)正三角形
(B)直角三角形
(C)等腰三角形
(D)不一定

答案：(C)

15.　用兩個全等的三角形可以緊密拼成一個長方形，則需要什麼樣的三角形？
(A)正三角形
(B)等腰三角形
(C)直角三角形
(D)不一定

答案：(C)

16.　已知有兩線段分別為$2$ 公分、$4$ 公分，則下列敘述何者錯誤？
(A)若另有一線段長為$2$ 公分，則此三線段可構成一等腰三角形
(B)若另有一線段長為$4$ 公分，則此三線段可構成一等腰三角形
(C)若另有一線段長為$2\sqrt{5}$ 公分，則此三線段可構成一直角三角形
(D)若另有一線段長為$2\sqrt{3}$ 公分，則此三線段可構成一直角三角形

答案：(A)

17.　小苑發現$△ABC$ 與$△DEF$ 中，已有$\overline{AB}=\overline{DE}$ ，$\angle B=\angle E$ ，她正思索下列問題，試問何者錯誤？
(A)如欲使用$SAS$ 全等，應加條件$\overline{BC}=\overline{EF}$ ，方能使兩個三角形全等
(B)如欲使用$ASA$ 全等，應加條件$\angle A=\angle D$ ，方能使兩個三角形全等
(C)如欲使用AAS全等，應加條件$\angle C=\angle F$ ，方能使兩個三角形全等
(D)如欲使用$SSA$ 全等，應加條件$\overline{AC}=\overline{DF}$ ，方能使兩個三角形全等　

答案：(D)

18.　下列敘述何者錯誤？
(A)過直線$L$ 外一點可作出無限多條直線與$L$ 垂直
(B)任意的線段都僅有一條垂直平分線
(C)若$A$ 點在$\overline{CD}$ 的平分線上，則$\overline{AC}=\overline{AD}$
(D)等腰三角形底邊上的高必垂直平分其底邊

答案：(A)

19.　下列有關四邊形$ABCD$ 的敘述，何者正確？
(A)若$ABCD$ 為平行四邊形，則$ABCD$ 必為菱形
(B)若$ABCD$ 為長方形，則$ABCD$ 必為平行四邊形
(C)若$ABCD$ 為長方形，則$ABCD$ 必為正方形
(D)若$ABCD$ 為平行四邊形，則$ABCD$ 必為梯形　

答案：(B)

20.　$SAS$ 、$RHS$ 、$ASA$ 、$AAA$ 、$SSS$ 、$SSA$ 、$AAS$ 以上$7$ 項，共有哪些可作為全等三角形的判別性質？

答案：$SAS$ 、$RHS$ 、$ASA$ 、$SSS$ 、$AAS$

21.　$△ABC$ 及$△DEF$ 中，已知$\overline{AB}=\overline{DE}$ ，$\overline{BC}=\overline{EF}$ ，試判斷下列敘述何者錯誤？
(A)欲使用$SAS$ 全等，應加條件$\angle C=\angle F$ ，方能使兩個三角形全等
(B)欲使用$SSS$ 全等，應加條件$\overline{AC}=\overline{DF}$ ，方能使兩個三角形全等
(C)欲使用$RHS$ 全等，應加條件$\angle C=\angle F=90°$ ，方能使兩個三角形全等
(D)欲使用$RHS$ 全等，應加條件$\angle A=\angle D=90°$ ，方能使兩個三角形全等　

答案：(A)

22.　老王有一塊三角形的土地，已知三內角分別為$50°$ 、$60°$ 、$70°$ ，如果要在內部找到一點，連接到三頂點後，所分割出來的三塊土地，能平分給三個兒子。試問要如何分割？
(A)找此三角形的外心
(B)找此三角形的內心
(C)找此三角形的重心
(D)找不到此點作分割

答案：(C)

23.　試問下列敘述何者正確？
(A)三角形三中垂線將三角形分割成$6$ 個面積相等的三角形
(B)直角三角形的內心一定在斜邊中點
(C)重心到三角形的三頂點等距離
(D)等腰三角形的外心可能在三角形的邊上

答案：(D)

24.　圓$O$ 為直角$△ABC$ 的內切圓。若$\overline{AB}=5$ ，$\overline{AC}=12$ ，$\overline{BC}=13$ ，則此內切圓之半徑為多少？

答案：$2$

25.　圓$O$ 為$△ABC$ 的內切圓，$D$ 、$E$ 、$F$ 分別為切點。若$\overline{AB}=\overline{AC}=5$ ，$\overline{BC}=6$ ，求圓$O$ 的半徑為何？

答案：$\frac{3}{2}$

26.　等腰$△ABC$ 中，$\overline{AB}=\overline{AC}$ ，$\overline{BC}=8$ ，$G$ 點是重心，且$\overline{BG}=5$ ，則$△ABG$ 的面積為何？

答案：$12$

27.　設$O$ 為$△ABC$ 的外心，若$\angle A:\angle B:\angle C=3:5:7$ ，則$\angle BOC=$ ？

答案：$72°$

28.　設$O$ 為$△ABC$ 之外心，若$\angle BAC=100°$ ，則$\angle BOC=$ ？

答案：$160°$

29.　設$I$ 為$△ABC$ 的內心，已知$\angle BIC=135°$ ，則$△ABC$ 為何種三角形？
(A)銳角三角形
(B)直角三角形
(C)鈍角三角形
(D)以上皆可

答案：(B)

30.　設$I$ 為$△ABC$ 的內心，已知$\angle BIC=130°$ ，則$\angle A=$ ？

答案：$80°$

31.　設$G$ 為$△ABC$ 的重心，$\overline{GD}\perp \overline{AC}$ 於$D$ 點。若$\overline{GD}=4cm$ ，$\overline{AC}=13cm$ ，則$△ABC$ 的面積為多少$c{m}^2$ ？

答案：$78$

32.　若圓$O$ 是$△ABC$ 的外接圓，且圓心$O$ 在$\overline{AC}$ 上，則下列敘述何者不正確？
(A)$△ABC$ 必為直角三角形
(B)$\stackrel{⌢}{ABC}=180°$
(C)$\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$
(D)$\angle C=90°$

答案：(D)

33.　若直角三角形的兩股長分別為$10$ 、$24$ ，則其外接圓的周長為多少？

答案：$26\pi$

34.　若$P$ 為$△ABC$ 內部一點，欲使$△ABP=△ACP=△BCP$ 的面積，則$P$ 點為何？
(A)三內角平分線交點
(B)三中線交點
(C)三高的交點
(D)三邊中垂線的交點

答案：(B)

35.　若$G$ 為$△ABC$ 的重心，且$\angle A=30°$ ，$\angle B=60°$ ，則$△AGB:△BGC:△AGC$ 的面積比為何？

答案：$1:1:1$

36.　若$△ABC$ 的外心為$O$ 點，則下列求$\angle AOB$ 的方法何者正確？
(A)若$△ABC$ 為鈍角三角形，則$\angle AOB=360°-\frac{1}{2}\angle C$
(B)若$△ABC$ 為銳角三角形，則$\angle AOB=90°+\frac{1}{2}\angle C$
(C)若$△ABC$ 為鈍角三角形，則$\angle AOB=2\angle A$
(D)若$\angle C<90°$ ，則$\angle AOB=2\angle C$

答案：(D)

37.　若$△ABC$ 的三邊長依次為$10$ 、$6$ 、$8$ ，設$△ABC$ 的外接圓圓心為$O$ ，求$\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=$ ？

答案：$15$

38.　直角$△ABC$ 中，$\angle C=90°$ ，$O$ 為外心，$G$ 為重心。若$\overline{AC}=6$ ，$\overline{BC}=8$ ，則$\overline{OG}=$ ？

答案：$\frac{5}{3}$

39.　在銳角$△ABC$ 中，兩邊$\overline{AB}$ 、$\overline{AC}$ 的垂直平分線交於$O$ 點。若$\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5$ ，則$\angle AOC=$ ？

答案：$120°$

40.　在直角三角形$ABC$ 中，$I$ 為內心。若兩股長分別為$5$ 、$12$ ，則內心$I$ 到斜邊的距離為多少？

答案：$2$

41.　在正三角形中，已知某點與三頂點的連線將該三角形的面積分成三等分，則該點必為何點？
(A)外心
(B)內心
(C)重心
(D)以上皆是

答案：(D)

42.　在$△ABC$ 中，若$\angle C=90°$ ，$\overline{AM}$ 為中線，$G$ 為重心，則$△GMB:△ABC=$ ？

答案：$1:6$

43.　在$△ABC$ 中，$\angle B=90°$ ，$\overline{AB}=3$ ，$\overline{BC}=4$ 。若$O$ 為其外心，$G$ 為其重心，則$\overline{OG}=$ ？

答案：$\frac{5}{6}$

44.　在$△ABC$ 中，$\angle B=40°$ ，$\angle C=30°$ 。若$O$ 點為其外心，則$\angle BOC+\angle AOC=$ ？

答案：$220°$

45.　已知某三角形的面積為$42$ 平方公尺，若其內切圓之半徑為$3$ 公尺，則此三角形之周長為多少公尺？

答案：$28$

46.　已知某三角形的周長為$30$ 公分，面積為$60$ 平方公分，則其內切圓半徑為多少公分？

答案：$4$

47.　已知某三角形的內心在該三角形的內部，則此三角形為何種三角形？
(A)必為銳角三角形
(B)必為直角三角形
(C)必為鈍角三角形
(D)以上皆有可能

答案：(D)

48.　已知直角$△ABC$ 的兩股長分別為$6$ 公分、$8$ 公分。設內切圓半徑$=r$ 公分，外接圓半徑$=R$ 公分，則$R+r=$ ？

答案：$7$

49.　已知$△ABC$ 的三邊長分別為$12cm$ 、$18cm$ 、$18cm$ 。若其面積為$96c{m}^2$ ，則其內切圓半徑為多少$cm$ ？

答案：$4$

50.　下列關於重心的敘述，何者錯誤？
(A)重心為三角形三中線的交點
(B)重心到一頂點的距離等於它到對邊中點距離的兩倍
(C)重心與頂點的距離為其外接圓之半徑
(D)重心與三頂點的連線將三角形面積分成三等分

答案：(C)

51.　下列關於直角三角形的內心敘述，何者錯誤？
(A)內心是三內角平分線的交點
(B)內心到三邊的距離相等
(C)內心到三邊的距離為其內切圓的半徑
(D)內心在斜邊的中點

答案：(D)

52.　下列關於外心的敘述，何者錯誤？
(A)直角三角形的外心在斜邊中點上
(B)鈍角三角形的外心在三角形內部
(C)外心與三角形的三頂點等距離
(D)外心是三角形三中垂線的交點

答案：(B)

53.　下列關於三角形的敘述，何者正確？
(A)其重心到三頂點等距離
(B)其外心到三邊等距離
(C)其內心與三頂點的連線將三角形的面積分成三等分
(D)以上皆非

答案：(D)
題幹解析：(A)　外心到三頂點等距離
(B)　內心到三邊等距離
(C)　是重心分等面積

54.　一圓$O$ 為$△ABC$ 之內切圓，$P$ 、$Q$ 、$R$ 分別為切點。若$\overline{AB}=8cm$ ，$\overline{BC}=9cm$ ，$\overline{AC}=12cm$ ，且$\overline{OP}=4cm$ ，則$△ABC$ 的面積為多少$c{m}^2$ ？

答案：$58$

55.　一個邊長為$10cm$ 的正三角形，其外接圓半徑為$R$ ，內切圓半徑為$r$ ，則$R$ 與$r$ 的關係為何？

答案：$R=2r$
題幹解析：正三角形三心同一點
$r=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 10=\frac{5}{3}\sqrt{3}$
$R=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 10=\frac{10}{3}\sqrt{3}$

56.　$△ABC$ 的內心在三角形的內部，則$△ABC$ 會是何種三角形？
(A)銳角三角形
(B)直角三角形
(C)鈍角三角形
(D)以上都有可能

答案：(D)

57.　$△ABC$ 中，若$\overline{AD}$ 為中線，$G$ 為重心，則$△GBD$ 面積$:$ $△ABC$ 面積$=$ ？

答案：$1:6$

58.　$△ABC$ 中，$\angle B=90°$ 。若外心$O$ 到三頂點$A$ 、$B$ 、$C$ 的距離和為$30$ 公分，則$\overline{AC}$ 為多少公分？

答案：$20$

59.　$△ABC$ 中，$\angle A=90°$ ，$\overline{AB}=8m$ ，$\overline{AC}=6m$ 。若$I$ 為$△ABC$ 的內心，則$△BIC$ 的面積為多少$m^2$ ？

答案：$10$

60.　$△ABC$ 中，$\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5$ 。若$O$ 是$△ABC$ 的外心，則$\angle AOB=$ ？

答案：$150°$

61.　$△ABC$ 中，$\overline{AB}=5$ ，$\overline{BC}=12$ ，$\overline{AC}=13$ 。若$D$ 、$E$ 分別是$△ABC$ 的重心和外心，則$\overline{DE}=$ ？

答案：$\frac{13}{6}$

62.　$△ABC$ 中，$\overline{AB}=13cm$ ，$\overline{BC}=5cm$ ，$\overline{AC}=12cm$ ，$I$ 是內心，請問$△AIC$ 的面積為多少$c{m}^2$ ？

答案：$12$

63.　$△ABC$ 中，$\overline{AB}=\overline{AC}$ ，$\angle B=40°$ ，$O$ 為$△ABC$ 的外心，則$\angle BOC$ ？

答案：$160°$