說明

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題目

 

一、非選題：
1.　若一元二次方程式$3x^2+x-m=0$ 有一解為$\frac{2}{3}$ ，求此方程式的另一個解。

答案：$-1$

2.　解下列各一元二次方程式：
(1)$\left(3x+2\right)\left(x-7\right)=\left(4x+5\right)\left(7-x\right)$
(2)${\left(2x-6\right)}^2={\left(x+7\right)}^2$

答案：(1)$x-7$ 或$x=-1$ (2)$x=-\frac{1}{3}$ 或$x=13$

3.　若一元二次方程式$m{x}^2-x-6=0$ 有一解為$2$ ，求此方程式的另一個解。

答案：$-\frac{3}{2}$

4.　解下列各一元二次方程式：
(1)${\left(3x+5\right)}^2-6\left(3x+5\right)+9=0$
(2)$8{\left(x-2\right)}^2+6\left(x-2\right)+1=0$

答案：(1)$x=-\frac{2}{3}$ (　重根　)；(2)$x=\frac{7}{4}$ 或$x=\frac{3}{2}$

5.　解下列各一元二次方程式：
(1)$0.1x^2+0.6x=2.7$
(2)$\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2}{3}x=1$

答案：(1)$x=3$ 或$x=-9$ (2)$x=-3$ 或$1$

6.　解下列各一元二次方程式：
(1)$\left(x+2\right)\left(x-7\right)=-14$
(2)$x\left(x-5\right)=3\left(x+3\right)$

答案：(1)$x=0$ 或$x=5$ (2)$x=9$ 或$x=-1$

7.　解下列各一元二次方程式：
(1)$4x^2-16x+15=0$
(2)$12x^2-2x-24=0$

答案：(1)$x=\frac{3}{2}$ 或$x=\frac{5}{2}$ (2)$x=-\frac{4}{3}$ 或$x=\frac{3}{2}$

8.　解下列各一元二次方程式：
(1)$-9x^2+6x-1=0$
(2)$16=-25x^2-40x$
(3)$12x^2-60x+75=0$

答案：(1)$x=\frac{1}{3}$ (　重根　)；(2)$x=-\frac{4}{5}$ (　重根　)；(3)$x=\frac{5}{2}$ (　重根　)

9.　解下列各一元二次方程式：
(1)$x^2-64=0$
(2)$49x^2=36$

答案：(1)$x=8$ 或$x=-8$ (2)$x=\frac{6}{7}$ 或$x=-\frac{6}{7}$

10.　解下列各一元二次方程式：
(1)${\left(x-8\right)}^2+3\left(x-8\right)=0$
(2)$6\left(2x+7\right)-x\left(4x+14\right)=0$

答案：(1)$x=8$ 或$x=5$ (2)$x=3$ 或x＝$x=-\frac{7}{2}$

11.　解下列各一元二次方程式：
(1)$6x-x^2=0$
(2)$\left(2x+1\right)\left(-x+4\right)=0$

答案：(1)$x=0$ 或$x=6$ (2)$x=-\frac{1}{2}$ 或$x=4$

12.　下列各數中，哪些是一元二次方程式$\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x-2=0$ 的解？
(A)$x=1$
(B)$x=4$
(C)$x=-4$
(D)$x=0$

答案：(A)(C)

13.　下列各數中，哪些是一元二次方程式$x^2+3x-4=0$ 的解？
(A)$x=1$
(B)$x=4$
(C)$x=-4$
(D)$x=0$

答案：(A)(C)

14.　設$a$ 、$b$ 為$x^2-11x+24=0$ 的兩根，且$a<b$ ，則滿足$a<\sqrt{n}<b$ 的正整數$n$ 共有幾個？

答案：$54$

15.　若$x$ 的一元二次方程式$\left(m+4\right)x^2+4mx-\left(m^2-16\right)=0$ 有一根為$0$ ，則$m$ 之值為何？

答案：$4$

16.　解下列各一元二次方程式：
(1)$0.6x^2-0.7x=\frac{1}{2}$
(2)$\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{3}-\frac{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}{2}=-1$

答案：(1)$x=\frac{5}{3}$ 或$x=-\frac{1}{2}$ (2)$x=3$ 或$x=16$

17.　解下列各一元二次方程式：
(1)${\left(3+4x\right)}^2-10\left(4x+3\right)+21=0$
(2)$3{\left(5x+2\right)}^2+5\left(5x+2\right)-12=0$

答案：(1)$x=1$ 或$x=0$ (2)$x=-1$ 或$x=-\frac{2}{15}$

18.　解下列各一元二次方程式：
(1)$\left(2-5x\right)\left(x+7\right)-6{\left(5x-2\right)}^2=0$
(2)$3{\left(x-3\right)}^2-6\left(3-x\right)=0$

答案：(1)$x=\frac{2}{5}$ 或$x=\frac{5}{31}$ (2)$x=3$ 或$x=1$

19.　解方程式$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)=\left(x-3\right)\left(x+5\right)$

答案：$x=3$ 或$x=-2$

20.　解下列各一元二次方程式：
　(1)$4x^2+3x=0$
　(2)$36-12x+x^2=0$
　(3)$x^2+2x=24$

答案：(1)$x=0$ 或$x=-\frac{3}{4}$ (2)$x=6$ ( 重根 ) (3)$x=4$ 或$x=-6$

21.　若$m$ 是$x^2+3x-7=0$ 的一根，則$m^2+3m+15$ 的值是多少？

答案：$22$

22.　若$x^2+ax+b=0$ 的兩根為$5$ 、$-7$ ，則$a+b$ 的值是多少？

答案：$-33$

23.　若一元二次方程式$x^2+ax+b=0$ 的解為$-5$ 和$-2$ ，求$a$ 、$b$ 的值。
答案：$a=7$ ，$b=10$

24.　利用公式解求下列各一元二次方程式的解：
(1)$x^2+3x-2=0$
(2)$x\left(x-6\right)=-24$

答案：(1)$x=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}$ (2)無解

25.　若$x$ 的一元二次方程式$x^2-6x+m=0$ 無解，求$m$ 的範圍。

答案：$m>9$

26.　利用公式解求下列各一元二次方程式的解：
(1)$-2x^2+5x-7=0$
(2)$5x^2+7x+2=0$
(3)$-6x^2+3x+1=0$

答案：(1)　無解；(2)$x=-1$ 或$x=-\frac{2}{5}$ (3)$x=\frac{3\pm \sqrt{33}}{12}$

27.　計算下列各式的判別式，並判斷其解的情形：
(1)$-3x+6x^2=4$
(2)$\frac{2}{3}{x}^2-4x+9=0$

答案：(1)　判別式為$105$ ，有兩相異根；(2)　判別式為$-8$ ，無解

28.　解下列各一元二次方程式：
(1)$9x^2-12x+4=0$
(2)$x^2-3x+4=0$

答案：(1)$x=\frac{2}{3}$ (　重根　)；(2)無解

29.　解下列各一元二次方程式：
(1)$6x^2+5x-3=0$
(2)$-3x^2+12x+2=0$

答案：(1)$x=\frac{-5\pm \sqrt{97}}{12}$ (2)$x=\frac{6\pm \sqrt{42}}{3}$

30.　解下列各一元二次方程式：
(1)$x^2-7x+4=0$
(2)$x^2+4x=396$

答案：(1)$x=\frac{7\pm \sqrt{33}}{2}$ (2)$x=18$ 或$x=-22$

31.　解下列各一元二次方程式：
(1)$2{\left(x+2\right)}^2=6$
(2)$10-2{\left(3x-1\right)}^2=0$

答案：(1)$x=-2\pm \sqrt{3}$ (2)$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{3}$

32.　解下列各一元二次方程式：
(1)${\left(-x+3\right)}^2=7$
(2)${\left(2x+3\right)}^2=16$

答案：(1)$x=3\pm \sqrt{7}$ (2)$x=\frac{1}{2}$ 或$x=-\frac{7}{2}$

33.　若$a{x}^2-6x+8=0$ 有重根，求$a$ 值。

答案：$\frac{9}{8}$

34.　解下列各一元二次方程式：
(1)$-3x^2+2x+6=0$
(2)$\frac{1}{4}{x}^2+2x-3=0$

答案：(1)$x=\frac{1\pm \sqrt{19}}{3}$ (2)$x=-4\pm \sqrt{7}$

35.　以配方法解$x^2+2x+a=0$ ，可得$x=-1\pm \sqrt{5}$ ，則$a$ 的值是多少？

答案：$-4$

36.　利用配方法將$2x^2-16x+24=0$ 化成${\left(x-a\right)}^2=b$ 的型式，則$a$ 、$b$ 的值分別是多少？

答案：$a=4$ ，$b=4$

37.　利用配方法解下列各一元二次方程式：
(1)$x^2-6x+6=0$
(2)$x^2+4x-285=0$
(3)$2x^2+5x-1=0$
(4)$-3x^2+2x+4=0$

答案：(1)$x=3\pm \sqrt{3}$ (2)$x=15$ 或$x=-19$ (3)$x=\frac{-5\pm \sqrt{33}}{4}$ (4)$x=\frac{1\pm \sqrt{33}}{3}$

38.　若方程式${\left(x+a\right)}^2=b$ 的解為$x=2\pm \sqrt{5}$ ，則$b-a$ 的值是多少？

答案：$7$

39.　以配方法解一元二次方程式$x^2-10x+b=0$ ，得$x=5\pm \sqrt{3}$ ，則$b=$

答案：$22$

40.　兩輪子的周長相差$3$ 公尺，且每公里所轉的圈數相差$75$ 圈，試問大輪子周長為多少公尺？

答案：$8$ 公尺
題幹解析：設小輪周長為$x$ 公尺、大輪周長為$\left(x+3\right)$ 公尺
$\frac{1000}{x}-75=\frac{1000}{x+3}$

41.　某旅行社在招攬日本五天四夜賞櫻旅遊團員$20$ 到$30$ 名，每名團員的團費為$35000$ 元。如果團員超過$20$ 名，每增加$1$ 名團員，每名團員都可優惠$1000$ 元。旅行社總收入是否可能剛好是$800000$ 元？

答案：否
題幹解析：$\left(35000-1000x\right)\left(20+x\right)=800000$

42.　某旅行社在招攬日本五天四夜賞櫻旅遊團員$20$ 到$30$ 名，每名團員的團費為$35000$ 元。如果團員超過$20$ 名，每增加$1$ 名團員，每名團員都可優惠$1000$ 元。若最後此旅行社共收入$756000$ 元，試問團員共有多少人？

答案：$27$ 人或$28$ 人
題幹解析：設團員有$\left(20+x\right)$ 人
$\left(35000-1000x\right)\left(20+x\right)=756000$

43.　有一正方形，將某一邊增加$3$ 公分，另一邊除以$2$ ，得到一長方形。若長方形面積比原正方形面積少了$54$ 平方公分，試問原正方形的邊長為多少公分？

答案：$12$ 公分
題幹解析：設原正方形邊長為$x$
$\frac{1}{2}x\times \left(x+3\right)+54=x^2$

44.　用$65$ 公尺的圍籬在河邊圍成一個面積為$500$ 平方公尺的長方形菜園　(　河岸為直線，不需圍籬　)，試問所圍長方形的長邊與短邊相差多少公尺？

答案：$27.5$ 公尺或$5$ 公尺
題幹解析：設垂直河岸的寬為$x$ 、長為$65-2x$
$x\left(65-2x\right)=500$

45.　若小娟 $12$ 年前年齡的平方，恰好為現在的$2$ 倍，請問小娟現在幾歲？

答案：$18$ 歲
題幹解析：設小娟現在$x$ 歲
${\left(x-12\right)}^2=2x$

46.　兩連續正整數的乘積為$240$ ，試求此兩數。

答案：$15$ 、$16$
題幹解析：設此兩連續正整數為$x$ 、$x+1$
$x\left(x+1\right)=240$

47.　班上同學相約去郊遊，總預算共要$1200$ 元。若總預算不變，最後少一個人參加，每個人多負擔$2$ 元，則原先有多少人參加？

答案：$25$ 人
題幹解析：設原先有$x$ 人參加
$\frac{1200}{x}=\frac{1200}{x-1}-2$

48.　已知一長方形面積為$45$ 平方公分，其長比寬多出$4$ 公分，則此長方形的長為多少公分？

答案：$9$ 公分
題幹解析：設寬為$x$ ，長為$x+4$
則$x\left(x+4\right)=45$

49.　某人將方程式$\left(x+2\right)\left(x+3\right)=k$ ，誤看為$2x\left(x+3\right)=k$ ，得出其中一解為$x=4$ ，試問此方程式的解為何？

答案：$x=5$ 或$x=-10$

50.　已知一直角三角形的三邊長為連續整數，試求此直角三角形的三邊長。

答案：$3$ 、$4$ 、$5$
題幹解析：設此直角三角形三邊長為$x$ ，$x+1$ ，$x+2$
則$x^2+{\left(x+1\right)}^2={\left(x+2\right)}^2$