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108 學年度學科能力測驗試題
數學考科
第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 30 分）
說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 點 $A\left(1,0\right)$ 在單位圓 $\Gamma :x^2+y^2=1$ 上。試問： $\Gamma$ 上除了 $A$ 點以外，還有幾個點到直線 $L:y=2x$ 的距離，等於 $A$ 點到 $L$ 的距離？
(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

2. 下列哪一個選項是方程式 $x^3-x^2+4x-4=0$ 的解？（註： $i=\sqrt{-1}$ ）
(1) $-2i$
(2) $-i$
(3) $i$
(4) $2$
(5) $4$

3. 試問共有多少組正整數 $\left(k,m,n\right)$ 滿足 $2^k{4}^m{8}^n=512$
(1) $1$ 組
(2) $2$ 組
(3) $3$ 組
(4) $4$ 組
(5) $0$ 組

4. 廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？
(1) $3$
(2) $6$
(3) $9$
(4) $18$
(5) $27$

5. 設正實數 $b$ 滿足 $\left(\log 100\right)\left(\log b\right)+\log 100+\log b=7$ 。試選出正確的選項。
(1) $1\le b\le \sqrt{10}$
(2) $\sqrt{10}\le b\le 10$
(3) $10\le b\le 10\sqrt{10}$
(4) $10\sqrt{10}\le b\le 100$
(5) $100\le b\le 100\sqrt{10}$

6. 某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在 $6^{\circ }C$ 到 ${24}^{\circ }C$ 時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為 $-0.99$ ，部分紀錄如下表。

某日平均氣溫為 $8℃$ ，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？
(1) $570$ 杯
(2) $625$ 杯
(3) $700$ 杯
(4) $755$ 杯
(5) $800$ 杯

二、多選題（占 35 分）
說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7. 設各項都是實數的等差數列 $a_1$ ,$a_2$ ,$a_3$ ,… 試選出正確的選項。
(1) 若 $b_n=-a_n$ ，則 $b_1>b_2>b_3>\dots$ 之公差為正實數 $\alpha$ 。
(2) 若 $c_n=a_n^2$ 則 $c_1<c_2<c_3\dots$
(3) 若 $d_n=a_n+a_{n+1}$ ，則 $d_1,d_2,d_3,\dots$ 是公差為 $\alpha$ 的等差數列
(4) 若 $e_n=a_n+n$ 則 $e_1,e_2,e_3,\dots$ 是公差為 $\alpha +1$ 的等差數列
(5) 若 $f_n$ 為 $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ 的算術平均數，則 $f_1,f_2,f_3,\dots$ 是公差為 $\alpha$ 的等差數列

8. 在數線上，甲從點 $-8$ 開始做等速運動，同時乙也從點 $10$ 開始做等速運動，乙移動的速率是甲的 $a$ 倍，且 $a<1$ 。試選出正確的選項。
(1) 若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇
(2) 若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇
(3) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點 $0$
(4) 若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大
(5) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點 $-2$ 相遇，則 $a=2$

9. 從 $1,2,3,4,5,6,7$ 這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。
(1) 其和大於 $10$ 的機率為 $\frac{1}{7}$
(2) 其和小於 $5$ 的機率為 $\frac{1}{7}$
(3) 其和為奇數的機率為 $\frac{4}{7}$
(4) 其差為偶數的機率為 $\frac{5}{7}$
(5) 其積為奇數的機率為 $\frac{2}{7}$

10. 在 $△ABC$ 中，已知 ${50}^{\circ }\le \angle A\le \angle B\le {60}^{\circ }$ 。試選出正確的選項。
(1) $\sin A<\sin B$
(2) $\sin B<\sin C$
(3) $\cos A<\cos B$
(4) $\sin C<\cos C$
(5) $\overline{AB}<\overline{BC}$

11. 某地區衛生機構成功訪問了 $500$ 人，其中年齡為 $50-59$ 歲及 $60$ 歲（含）以上者分別有 $220$ 名及 $280$ 名。這 $500$ 名受訪者中， $120$ 名曾做過大腸癌篩檢，其中有 $75$ 名是在一年之前做的，有 $45$ 名是在一年之內做的。已知受訪者中， $60$ 歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 $50-59$ 歲者曾做過大腸癌篩檢比率的 $3.5$ 倍。試選出正確的選項。
(1) 受訪者中年齡為 $60$ 歲（含）以上者超過 $60\%$
(2) 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在 $50-59$ 歲間的機率大於 $0.25$
(3) 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為 $2\cdot \left(\frac{45}{120}\right)\left(\frac{75}{119}\right)$
(4) 這 $500$ 名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 $75\%$
(5) 受訪者中 $60$ 歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過 $90$ 名

12. 設 $f_1\left(x\right),f_2\left(x\right)$ 為實係數三次多項式， $g\left(x\right)$ 為實係數二次多項式。已知 $f_1\left(x\right),f_2\left(x\right)$ 除以 $g\left(x\right)$ 的餘式分別為 $r_1\left(x\right),r_2\left(x\right)$ 。試選出正確的選項。
(1) $-f_1\left(x\right)$ 除以 $g\left(x\right)$ 的餘為 $-r_1\left(x\right)$
(2) $f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)$ 除以 $g\left(x\right)$ 的餘式為 $r_1\left(x\right)+r_2\left(x\right)$
(3) $f_1\left(x\right)f_2\left(x\right)$ 除以 $g\left(x\right)$ 的餘式為 $r_1\left(x\right)r_2\left(x\right)$
(4) $f_1\left(x\right)$ 除以 $-3g\left(x\right)$ 的餘式為 $\frac{-1}{3}{r}_1\left(x\right)$
(5) $f_1\left(x\right)r_2\left(x\right)-f_2\left(x\right)r_1\left(x\right)$ 可被 $g\left(x\right)$ 整除

13. 坐標空間中有一平面 $P$ 過 $\left(0,0,0\right),\left(1,2,3\right)$ 及 $\left(-1,2,3\right)$ 三點。試選出正確的選項。
(1) 向量 $\left(0,3,2\right)$ 與平面 $P$ 垂直
(2) 平面 $P$ 與 $xy$ 平面垂直
(3) 點 $\left(0,4,6\right)$ 在平面 $P$ 上
(4) 平面 $P$ 包含 $x$ 軸
(5) 點 $\left(1,1,1\right)$ 到平面 $P$ 的距離是 $1$

第貳部分：選填題（占 35 分）
說明：
1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14-30）
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設 $x,y$ 為實數，且滿足 $\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 3\\ 2& 4& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ -6\end{array}\right]$ ，則 $x+3y=$$⑭⑮$

B. 如圖（此為示意圖）$A,B,C,D$ 是橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{16}=1$ 的頂點。若四邊形 $ABCD$ 的面積為 $58$ ，則 $a=$ $\frac{⑯⑰}{⑱}$（化為最簡分數）

C. 某高中已有一個長 $90$ 公尺、寬 $60$ 公尺的足球練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為 $400$ 公尺的跑道，跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓，而中間是上下各一條的直線跑道，直線跑道與足球練習場的長邊平行（如示意圖）。則圖中一條直線跑道 $\overline{AB}$ 長度的最大可能整數值為$⑲⑳㉑$公尺。

D. 某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇 領或不領。投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有 765 人領票、乙案有 $537$ 人領票、丙案有 $648$ 人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有 $224$ 人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有$\mathrm{㉒㉓㉔}$人。

E. 如圖（此為示意圖），在 $△ABC$ 中， $\overline{AD}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $D$ 點， $\overline{BE}$ 交 $\overline{AD}$ 於 $E$ 點，且 $\angle ACB={30}^{\circ }$ $\angle EBD={60}^{\circ }$ $\angle AEB={120}^{\circ }$ 。若 $\overline{CD}=15$ ，$\overline{ED}=7$ 則 $\overline{AB}=$$\mathrm{㉕㉖}$

F. 坐標空間中，考慮有一個頂點在平面 $z=0$ 上、且有另一個頂點在平面 $z=6$ 上的正立方體。則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為$㉗\sqrt{㉘}$。（化成最簡根式）

G. 如圖（此為示意圖），$A,B,C,D$ 為平面上的四個點。已知 $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+\stackrel{\rightharpoonup }{AD}$ ，$\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$ 、 $\stackrel{\rightharpoonup }{BD}$ 兩向量等長且互相垂直，則 $\tan \angle BAD=$$\mathrm{㉙㉚}$