107年國中教育會考
數學科試題本

第一部分：選擇題（第$1~26$ 題）

1. 下列選項中的圖形有一個為線對稱圖形，判斷此圖形為何？
（選項為圖形）

2. 已知$a=\left(\frac{3}{14}-\frac{2}{15}\right)-\frac{1}{16}$ ，$b=\frac{3}{14}-\left(\frac{2}{15}-\frac{1}{16}\right)$ ，$c=\frac{3}{14}-\frac{2}{15}-\frac{1}{16}$ ，判斷下列敘述何者正確？
(A) $a=c$ ，$b=c$
(B) $a=c$ ，$b\ne c$
(C) $a\ne c$ ，$b=c$
(D) $a\ne c$ ，$b\ne c$

3. 已知坐標平面上， 一次函數$y=3x+a$ 的圖形通過點$\left(0,4\right)$ ，其中$a$ 為一數， 求 $a$ 的值為何？
(A) $-12$
(B) $-4$
(C) $4$
(D) $12$

4. 已知某文具店販售的筆記本每本售價均相等且超過$10$ 元，小錦和小勳在此文具店分別購買若干本筆記本。若小錦購買筆記本的花費為$36$ 元，則小勳購買筆記本的花費可能為下列何者？
(A) $16$ 元
(B) $27$ 元
(C) $30$ 元
(D) $48$ 元

5. 若二元一次聯立方程式$\{\begin{array}{c}7x-3y=8\\ 3x-y=8\end{array}$ 的解為$x=a$ ，$y=b$ ，則$a+b$ 之值為何？
(A) $24$
(B) $0$
(C) $-4$
(D) $-8$

6. 已知甲、乙兩袋中各裝有若干顆球， 其種類與數量如表（一）所示。今阿馮打算從甲袋中抽出一顆球，小潘打算從乙袋中抽出一顆球，若甲袋中每顆球被抽出的機會相等，且乙袋中每顆球被抽出的機會相等，則下列敘述何者正確？

(A) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率大
(B) 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率小
(C) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率大
(D) 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率小

7. 算式$\sqrt{6}\times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)$ 之值為何？
(A) $\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(B) $\sqrt{2}-1$
(C) $2-\sqrt{6}$
(D) $1$

8. 若一元二次方程式$x^2-8x-3\times 11=0$ 的兩根為$a$ 、$b$ ，且$a>b$ ，則$a-2b$ 之值為何？
(A) $-25$
(B) $-19$
(C) $5$
(D) $17$

9. 如圖（一），$△ABC$ 中，$D$ 為$\overline{BC}$ 的中點，以$D$ 為圓心，$\overline{BD}$ 長為半徑畫一弧交 $\overline{AC}$ 於$E$ 點。 若$\angle A=60°$ ，$\angle B=100°$ ，$\overline{BC}=4$ ，則扇形$BDE$ 的面積為何？
(A) $\frac{1}{3}\pi$
(B) $\frac{2}{3}\pi$
(C) $\frac{4}{9}\pi$
(D) $\frac{5}{9}\pi$

10. 圖（二） 為大興電器行的促銷活動傳單，已知促銷第一天美食牌微波爐賣出 $10$ 台，且其銷售額為$61000$ 元。若活動期間此款微波爐總共賣出$50$ 台，則其總銷售額為多少元？
(A) $305000$
(B) $321000$
(C) $329000$
(D) $342000$

11. 如圖（三），五邊形$ABCDE$ 中有一正三角形$ACD$ 。若$\overline{AB}=\overline{DE}$ ，$\overline{BC}=\overline{AE}$ ，$\angle E=115°$ ，則$\angle BAE$ 的度數為何？
(A) $115$
(B) $120$
(C) $125$
(D) $130$

12. 圖（四）為$O$ 、$A$ 、$B$ 、$C$ 四點在數線上的位置圖，其中$O$ 為原點，且$\overline{AC}=1$ ，$\overline{OA}=\overline{OB}$ 。若$C$ 點所表示的數為$x$ ，則$B$ 點所表示的數與下列何者相等？
(A) $-\left(x+1\right)$
(B) $-\left(x-1\right)$
(C) $x+1$
(D) $x-1$

13. 圖（五）的宣傳單為萊克印刷公司設計與印刷卡片計價方式的說明，妮娜打算請此印刷公司設計一款母親節卡片並印刷，她再將卡片以每張$15$ 元的價格販售。若利潤等於收入扣掉成本，且成本只考慮設計費與印刷費，則她至少需印多少張卡片，才可使得卡片全數售出後的利潤超過成本的$2$ 成？
(A) $112$
(B) $121$
(C) $134$
(D) $143$

14. 如圖（六），$I$ 點為$△ABC$ 的內心，$D$ 點在$\overline{BC}$ 上，且$\overline{ID}\perp \overline{BC}$ 。若$\angle B=44°$ ，$\angle C=56°$ ，則$\angle AID$ 的度數為何？
(A) $174$
(B) $176$
(C) $178$
(D) $180$

15. 圖（七） 為一直角柱，其底面是三邊長為$5$ 、$12$ 、$13$ 的直角三角形。若下列選項中的圖形均由三個矩形與兩個直角三角形組合而成，且其中一個為圖（七） 的直角柱的展開圖，則根據圖形中標示的邊長與直角記號判斷，此展開圖為何？
（選項為圖形）

16. 若小舒從$1$ ~$50$ 的整數中挑選$4$ 個數，使其由小到大排序後形成一等差數列，且$4$ 個數中最小的是$7$ ，則下列哪一個數不可能出現在小舒挑選的數之中？
(A) $20$
(B) $25$
(C) $30$
(D) $35$

17. 已知$a=3.1\times {10}^{-4}$ ，$b=5.2\times {10}^{-8}$ ，判斷下列關於$a-b$ 之值的敘述何者正確？
(A) 比$1$ 大
(B) 介於$0$ 、$1$ 之間
(C) 介於$-1$ 、$0$ 之間
(D) 比$-1$ 小

18. 如圖（八），銳角三角形$ABC$ 中，$\overline{BC}>\overline{AB}>\overline{AC}$ ，甲、乙兩人想找一點$P$ ，使得$\angle BPC$ 與$\angle A$ 互補，其作法分別如下：
（甲）以$A$ 為圓心，$\overline{AC}$ 長為半徑畫弧交$\overline{AB}$ 於$P$ 點，則$P$ 即為所求
（乙）作過$B$ 點且與$\overline{AB}$ 垂直的直線$L$ ，作過$C$ 點且與$\overline{AC}$ 垂直的直線，交$L$ 於$P$ 點，則$P$ 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？
(A) 兩人皆正確
(B) 兩人皆錯誤
(C) 甲正確，乙錯誤
(D) 甲錯誤，乙正確

19. 已知甲、乙兩班的學生人數相同，圖（九）為兩班某次數學小考成績的盒狀圖。若甲班、乙班學生小考成績的中位數分別為$a$ 、$b$ ；甲班、乙班中小考成績超過$80$ 分的學生人數分別為$c$ 、$d$ ，則下列$a$ 、$b$ 、$c$ 、$d$ 的大小關係，何者正確？
(A) $a>b$ ，$c>d$
(B) $a>b$ ，$c<d$
(C) $a<b$ ，$c>d$
(D) $a<b$ ，$c<d$

20. 圖（十）的矩形$ABCD$ 中，有一點$E$ 在$\overline{AD}$ 上， 今以$\overline{BE}$ 為摺線將$A$ 點往右摺， 如圖（十一）所示。再作過$A$ 點且與$\overline{CD}$ 垂直的直線，交$\overline{CD}$ 於$F$ 點，如圖（十二）所示。若$\overline{AB}=6\sqrt{3}$ ，$\overline{BC}=13$ ，$\angle BEA=60°$ ，則圖（十二）中$\overline{AF}$ 的長度為何？
(A) $2$
(B) $4$
(C) $2\sqrt{3}$
(D) $4\sqrt{3}$

21. 已知坐標平面上有一直線$L$ ，其方程式為$y+2=0$ ，且$L$ 與二次函數$y=3x^2+a$ 的圖形相交於$A$ 、$B$ 兩點；與二次函數$y=-2x^2+b$ 的圖形相交於$C$ 、$D$ 兩點，其中$a$ 、$b$ 為整數。若$\overline{AB}=2$ ，$\overline{CD}=4$ ，則$a+b$ 之值為何？
(A) $1$
(B) $9$
(C) $16$
(D) $24$

22. 如圖（十三），兩圓外切於$P$ 點，且通過$P$ 點的公切線為$L$ 。過$P$ 點作兩直線， 兩直線與兩圓的交點為$A$ 、$B$ 、$C$ 、$D$ ，其位置如圖（十三） 所示。若$\overline{AP}=10$ ，$\overline{CP}=9$ ，則下列角度關係何者正確？
(A) $\angle PBD>\angle PAC$
(B) $\angle PBD<\angle PAC$
(C) $\angle PBD>\angle PDB$
(D) $\angle PBD<\angle PDB$

23. 小柔想要搾果汁，她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數比為$9:7:6$ 。小柔搾完果汁後，蘋果、芭樂、柳丁的顆數比變為$6:3:4$ 。已知小柔搾果汁時沒有使用柳丁，關於她搾果汁時另外兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？
(A) 只使用蘋果
(B) 只使用芭樂
(C) 使用蘋果及芭樂，且使用的蘋果顆數比使用的芭樂顆數多
(D) 使用蘋果及芭樂，且使用的芭樂顆數比使用的蘋果顆數多

24. 如圖（十四），$△ABC$ 、$△FGH$ 中，$D$ 、$E$ 兩點分別在$\overline{AB}$ 、$\overline{AC}$ 上，$F$ 點在$\overline{DE}$ 上，$G$ 、$H$ 兩點在$\overline{BC}$ 上，且$\overline{DE}\parallel \overline{BC}$ ，$\overline{FG}\parallel \overline{AB}$ ，$\overline{FH}\parallel \overline{AC}$ 。若$\overline{BG}:\overline{GH}:\overline{HC}=4:5:6$ ，則$△ADE$ 與$△FGH$ 的面積比為何？
(A) $2:1$
(B) $3:2$
(C) $5:2$
(D) $9:4$

25. 某商店將巧克力包裝成方形、圓形禮盒出售，且每盒方形禮盒的價錢相同，每盒圓形禮盒的價錢相同。阿郁原先想購買$3$ 盒方形禮盒和$7$ 盒圓形禮盒，但他身上的錢會不足$240$ 元，如果改成購買$7$ 盒方形禮盒和$3$ 盒圓形禮盒，他身上的錢會剩下$240$ 元。若阿郁最後購買$10$ 盒方形禮盒，則他身上的錢會剩下多少元？
(A) $360$
(B) $480$
(C) $600$
(D) $720$

26. 如圖（十五），坐標平面上，$A$ 、$B$ 兩點分別為圓$P$ 與$x$ 軸、$y$ 軸的交點，有一直線$L$ 通過$P$ 點且與$\overline{AB}$ 垂直，$C$ 點為$L$ 與$y$ 軸的交點。若$A$ 、$B$ 、$C$ 的坐標分別為$\left(a,0\right)$ 、$\left(0,4\right)$ 、$\left(0,-5\right)$ ，其中$a<0$ ，則$a$ 的值為何？
(A) $-214$
(B) $-25$
(C) $-8$
(D) $-7$

第二部分：非選擇題（第 1 ~ 2 題）

1. 一個箱子內有$4$ 顆相同的球，將$4$ 顆球分別標示號碼$1$ 、$2$ 、$3$ 、$4$ ，今翔翔以每次從箱子內取一顆球且取後放回的方式抽取，並預計取球$10$ 次，現已取了$8$ 次，取出的結果如表（二） 所列：

若每次取球時，任一顆球被取到的機會皆相等，且取出的號碼即為得分，請回答下列問題：
(1) 請求出第$1$ 次至第$8$ 次得分的平均數。
(2) 承 (1) ，翔翔打算依計畫繼續從箱子取球$2$ 次，請判斷是否可能發生「這$10$ 次得分的平均數不小於$2.2$ ，且不大於$2.4$ 」的情形？若有可能，請計算出發生此情形的機率，並完整寫出你的解題過程；若不可能，請完整說明你的理由。

2. 嘉嘉參加機器人設計活動，需操控機器人在$5\times 5$ 的方格棋盤上從$A$ 點行走至$B$ 點，且每個小方格皆為正方形。主辦單位規定了三條行走路徑$R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ ，其行經位置如圖（十六）與表（三）所示：
已知$A$ 、$B$ 、$C$ 、$D$ 、$E$ 、$F$ 、$G$ 七點皆落在格線的交點上，且兩點之間的路徑皆為直線，在無法使用任何工具測量的條件下，請判斷$R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ 這三條路徑中，最長與最短的路徑分別為何？請寫出你的答案，並完整說明理由。