大學入學考試中心 105學年度學科能力測驗試題 數學考科

第壹部分：選擇題（占65分）

一、單選題（占30分）

說明：第1題至第6題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1.設$f\left(x\right)$為二次實係數多項式，已知$f\left(x\right)$ 在$x=2$ 時有最小值$1$且$f\left(3\right)=3$ 。請問$f\left(1\right)$ 之值為下列哪一選項？
(1) $5$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) 條件不足，無法確定

2.請問$\sin 73°$ 、$\sin 146°$ 、$\sin 219°$ 、$\sin 292°$ 、$\sin 365°$ 這五個數值的中位數是哪一個？
(1) $\sin 73°$
(2) $\sin 146°$
(3) $\sin 219°$
(4) $\sin 292°$
(5) $\sin 365°$

3.坐標平面上兩圖形${\Gamma }_1,{\Gamma }_2$的方程式分別為：${\Gamma }_1:{(x+1)}^2+y^2=1$ 、${\Gamma }_2:{(x+y)}^2=1$ 。請問${\Gamma }_1,{\Gamma }_2$ 共有幾個交點？
(1) $1$個
(2) $2$個
(3) $3$個
(4) $4$個
(5) $0$個

4.放射性物質的半衰期$T$定義為每經過時間$T$，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質$A$ 、$B$，開始紀錄時容器中物質$A$ 的質量為物質$B$ 的兩倍，而$120$小時後兩種物質的質量相同。已知物質$A$ 的半衰期為$7.5$小時，請問物質$B$ 的半衰期為幾小時？
(1) $8$小時
(2) $10$小時
(3) $12$小時
(4) $15$小時
(5) $20$小時  

5.坐標空間中一質點自點$P(1,1,1)$ 沿著方向$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\left(1,1,1\right)$等速直線前進，經過$5$秒後剛好到達平面$x-y+3z=28$上，立即轉向沿著方向$\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\left(-2,2,-1\right)$依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面$x=2$ 上？
(1) $1$秒
(2) $2$秒
(3) $3$秒
(4) $4$秒
(5) 永遠不會到達

6.設為一等比數列。已知前十項的和為${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}{a}_k}=80$，前五個奇數項的和為$a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=120$ ，請選出首項$a_1$ 的正確範圍。
(1) $a_1<80$
(2) $80\le a_1<90$
(3) $90\le a_1<100$
(4) $100\le a_1<110$
(5) $110\le a_1$

二、多選題（占35分）說明：第7題至第13題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7.下列各方程式中，請選出有實數解的選項。
(1) $\mid x\mid +\mid x-5\mid =1$
(2) $\mid x\mid +\mid x-5\mid =6$
(3) $\mid x\mid -\mid x-5\mid =1$
(4) $\mid x\mid -\mid x-5\mid =6$
(5) $\mid x\mid -\mid x-5\mid =-1$  

8.下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格「$35$元/一袋$2$顆」表示每一袋有$2$顆奇異果，價格$35$元。

甲商場售價

乙商場售價

依據上述數據，請選出正確的選項。
(1) 在甲商場買一袋$3$顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果
(2) 乙商場的奇異果售價，一袋裝越多顆者，其每顆單價越低
(3)若只想買奇異果，則在甲商場花$500$元最多可以買到$30$顆奇異果
(4) 如果要買$12$顆奇異果和$4$顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額
(5)無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額

9.下列各直線中，請選出和$z$ 軸互為歪斜線的選項。
(1) $L_1:\{\begin{array}{l}x=0\\ z=0\end{array}$
(2) $L_{\text{2}}:\{\begin{array}{l}y=0\\ x+z=1\end{array}$
(3) $L_3:\{\begin{array}{l}z=0\\ x+y=1\end{array}$
(4) $L_4:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$
(5) $L_5:\{\begin{array}{l}y=1\\ z=1\end{array}$

10.設$a$ 、$b$ 、$c$皆為正整數，考慮多項式$f\left(x\right)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+2$ 。請選出正確的選項。
(1) $f\left(x\right)=0$ 無正根
(2) $f\left(x\right)=0$ 一定有實根
(3) $f\left(x\right)=0$ 一定有虛根
(4) $f\left(1\right)+f(-1)$ 的值是偶數
(5) 若$a+c>b+3$ ，則$f\left(x\right)=0$ 有一根介於$-1$ 與$0$之間

11.一個$41$人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過$59$分。老師決定以下列方式調整成績：原始成績為$x$分的學生，新成績調整為$40{\log }_{10}\left(\frac{x+1}{10}\right)+60$ 分（四捨五入到整數）。請選出正確的選項。
(1) 若某人原始成績是$9$分，則新成績為$60$分
(2) 若某人原始成績超過$20$分，則其新成績超過$70$分
(3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大
(4)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數
(5)已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）

12.在$\Delta ABC$ 中，已知$\angle A=20°$ 、$\overline{AB}=5$ 、$\overline{BC}=4$ 。請選出正確的選項。
(1) 可以確定$\angle B$ 的餘弦值
(2) 可以確定$\angle C$ 的正弦值
(3) 可以確定$\Delta ABC$ 的面積
(4) 可以確定$\Delta ABC$ 的內切圓半徑
(5) 可以確定$\Delta ABC$ 的外接圓半徑

13.甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約$A$ 、$B$ 、$C$ 、$D$ 四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照$A$ 、$B$ 、$C$ 、$D$ 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了$B$ 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
(1) $A$ 抽到甲的鑰匙的機率大於$C$ 抽到甲的鑰匙的機率
(2) $C$ 抽到甲的鑰匙的機率大於$D$ 抽到甲的鑰匙的機率
(3) $A$ 抽到乙的鑰匙的機率大於$B$ 抽到乙的鑰匙的機率
(4) $B$ 抽到丙的鑰匙的機率大於$C$ 抽到丙的鑰匙的機率
(5) $C$ 抽到甲的鑰匙的機率大於$C$ 抽到乙的鑰匙的機率  

第貳部分：選填題（占35分）

說明：
1.第A至G題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14–31）。
2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.考慮每個元（或稱元素）只能是0或1的$2\times 3$ 階矩陣，且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有 ---- 個。

B.坐標平面上$O$ 為原點，設$\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\left(1,2\right)$ 、$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(3,4\right)$ 。令$\Omega$ 為滿足$\stackrel{\rightharpoonup }{OP}=x\stackrel{\rightharpoonup }{u}+y\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ 的所有點$P$ 所形成的區域，其中$\frac{1}{2}\le x\le 1$ 、$-3\le y\le \frac{1}{2}$ ，則$\Omega$ 的面積為 ---- 平方單位。（化成最簡分數）

C.從橢圓$\Gamma$ 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線，交橢圓於四點。已知連此四點得一個邊長為2的正方形，則$\Gamma$ 的長軸長為 ---- 。

D.線性方程組$\{\begin{array}{c}x+2y+3z=0\\ 2x+y+3z=6\\ x-y=6\\ x-2y-z=8\end{array}$ 經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\mid \begin{array}{c}b\\ d\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ ，則$a=$---- 、$b=$---- 、$c=$---- 、$d=$---- 。

E.設$a$ 為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式$\{\begin{array}{c}x-3y\le a\\ x+2y\le 14\end{array}$ 的所有點所形成之區域面積為$\frac{213}{5}$ 平方單位，則$a=$---- 。

F.投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為$a,b,c$ 。在$b$ 為奇數的條件下，行列式$\mid \begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\mid >0$ 的機率為 ---- 。（化成最簡分數）

G.如右圖所示，$ABCD-EFGH$ 為一長方體。若平面$BDG$ 上一點$P$ 滿足 $\stackrel{\rightharpoonup }{AP}=\frac{1}{3}\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+2\stackrel{\rightharpoonup }{AD}+a\stackrel{\rightharpoonup }{AE}$，則實數$a=$---- 。（化成最簡分數）

參考公式及可能用到的數值