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發佈時間:2018-02-14 (更新:2018-02-15 13:32)發佈者:hurt
標題:106 學年度學科能力測驗試題 數學考科 MathML 版

106 學年度學科能力測驗試題
數學考科
第壹部分:選擇題(占 65 分)

一、單選題(占 35 分)
說明:第 1 題至第 7 題,每題有 5 個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得 5 分;答錯、未作答或畫記多於一個選項者,該題以零分計算。

1. 已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為r1, 而學生玩過的比率為r2, 其中r1r2。由下列選項中的資訊,請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項。
(1) 全校老師與學生比率
(2) 全校老師人數
(3) 全校學生人數
(4) 全校師生人數
(5) 全校師生玩過「寶可夢」人數

2. 某個手機程式,每次點擊螢幕上的數a後,螢幕上的數會變成a2。當一開始時螢幕上的數b為正且連續點擊螢幕三次後,螢幕上的數接近813。試問實數b最接近下列哪一個選項?
(1) 1.7
(2) 3
(3) 5.2
(4) 9
(5) 81

3. 設Γ:y2a2-x2b2=1為坐標平面上一雙曲線,且其通過第一象限的漸近線為l。考慮動點t,t2,從時間t=0時出發。當t>0時,請選出正確的選項。
(1) 此動點不會碰到Γ,也不會碰到l
(2) 此動點會碰到Γ,但不會碰到l
(3) 此動點會碰到l, 但不會碰到Γ
(4) 此動點會先碰到Γ, 再碰到l
(5) 此動點會先碰到l,再碰到Γ

4. 在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點AC同時出發,各自以等速直線運動分別向頂點BD前進,且在1秒後分別同時到達。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。
(1) 兩質點的距離固定不變
(2) 兩質點的距離越來越小
(3) 兩質點的距離越來越大
(4) 在12秒時兩質點的距離最小
(5) 在12秒時兩質點的距離最大

5. 下圖是某城市在2016年的各月最低溫(橫軸x)與最高溫(縱軸y)的散佈圖。

今以溫差(最高溫減最低溫)為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。試依此選出正確的選項。
(1) 最高溫與溫差為正相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
(2) 最高溫與溫差為正相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
(3) 最高溫與溫差為負相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
(4) 最高溫與溫差為負相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
(5) 最高溫與溫差為零相關

6. 試問有多少個實數x滿足π2x3π2cosx°cosx
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
(5) 無窮多個

7. 小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇:牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐:
(甲)每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則,小明這五天共有幾種不同的午餐計畫?
(1) 52
(2) 60
(3) 68
(4) 76
(5) 84

二、多選題(占 30 分)
說明:第 8 題至第 13 題,每題有 5 個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對者,得 5 分;答錯 1 個選項者,得 3 分;答錯 2 個選項者,得 1 分;答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。

8. 設mn為小於或等於4的相異正整數且ab為非零實數。已知函數fx=axm與函數gx=bxn的圖形恰有3個相異交點,請選出可能的選項。
(1) mn皆為偶數且ab同號
(2) mn皆為偶數且ab異號
(3) mn皆為奇數且ab同號
(4) mn皆為奇數且ab異號
(5) mn為一奇一偶

9. 設Γ為坐標平面上的圓,點0,0Γ的外部且點2,6Γ的內部。請選出正確的選項。
(1) Γ的圓心不可能在第二象限
(2) Γ的圓心可能在第三象限且此時Γ的半徑必定大於10
(3) Γ的圓心可能在第一象限且此時Γ的半徑必定小於10
(4) Γ的圓心可能在x軸上且此時圓心的x坐標必定小於10
(5) Γ的圓心可能在第四象限且此時Γ的半徑必定大於10

10. 坐標空間中有三直線,L1:x-12=y+12=z1L2:x-2y+2z=-4x+y-4z=5L3:x=-ty=-2-tz=4+4tt為實數。請選出正確的選項。
(1) L1L2的方向向量互相垂直
(2) L1L3的方向向量互相垂直
(3) 有一個平面同時包含L1L2
(4) 有一個平面同時包含L1L3
(5) 有一個平面同時包含L2L3

11. 最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形ABCDE,其示意圖如下。關於這五邊形,請選出正確的選項。
(1) AD¯=22
(2) DAB=45°
(3) BD¯=26
(4) ABD=45°
(5) BCD的面積為22

12. 某班級50位學生,段考國文、英文、數學及格的人數分別為453934人,且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有x人,數學及格但英文不及格的有y人。請選出正確的選項。
(1) x+y=39
(2) y11
(3) 三科中至少有一科不及格的學生有39-x+y
(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有11
(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有27

13. 空間中有一四面體ABCD。假設AD分別與ABAC垂直,請選出正確的選項。
(1) DB·DC=DA¯2-AB·AC
(2) 若BAC是直角,則BDC是直角
(3) 若BAC是銳角,則BDC是銳角
(4) 若BAC是鈍角,則BDC是鈍角
(5) 若AB¯<DA¯AC¯<DA¯,則BDC是銳角

第貳部分:選填題(占 35 分)
說明: 1. 第 A 至 G 題,將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號 (14-34)。 2. 每題完全答對給 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
A. 遞迴數列an滿足an=an-1+fn-2,其中n2fx為二次多項式。若a1=1a2=2a3=5a4=12,則a5=----。

B. 在坐標平面上,ABC內有一點P滿足AP=43,56AP=12AB+15AC。若AP連線交BC¯M,則AM=----。(化成最簡分數)

C. 若a為正整數且方程式5x3+a+4x2+ax+1=0的根都是有理根,則a=----。

D. 設a1a2,...,a9為等差數列且k為實數。若方程組a1x-a2y+2a3z=k+1a4x-a5y+2a6z=-k-5a7x-a8y+2a9z=k+9有解,則k=----。

E. 設abx皆為正整數且滿足axbb-a=3。若用內插法從logalogb求得logx的近似值為
logx13loga+23logb=131+2log3-log2+234log2+log3
x的值為----。

F. 一隻青蛙位於坐標平面的原點,每步隨機朝上、下、左、右跳一單位長,總共跳了四步。青蛙跳了四步後恰回到原點的機率為----。(化成最簡分數)

G. 地面上甲、乙兩人從同一地點同時開始移動。甲以每秒4公尺向東等速移動,乙以每秒3公尺向北等速移動。在移動不久之後,他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了6秒後才又相見。此圓柱體建築物底圓的直徑為----公尺。
 

參考公式及可能用到的數值

附檔:-----------------------------------
03-106學測數學試卷定稿.pdf
03-106學測數學試卷定稿.docx