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發佈時間:2018-02-28 (更新:2018-02-28 15:24)發佈者:hurt
標題:104 學年度學科能力測驗試題 數學考科 MathML 版

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104學年度學科能力測驗試題
數學考科
第壹部分:選擇題(占50分)
一、單選題(占20分)
說明:第1題至第4題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得5分;答錯、未作答或畫記多於一個選項者,該題以零分計算。
1.每週同一時間點記錄某植物的成長高度,連續五週的數據為
a 1 = 1 ,   a 2 = 2 ,   a 3 = 6 ,   a 4 = 15 ,   a 5 = 31
請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子?
(1) a t + 1 = 3 a t 1 t = 1 ,   2 ,   3 ,   4
(2) a t = t ! t = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5
(3) a t + 1 = a t + t 2 t = 1 ,   2 ,   3 ,   4
(4) a t = 2 t 1 t = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5
(5) a t + 1 = t a t + 1 t = 1 ,   2 ,   3 ,   4

2.第 1天獲得 1元、第 2天獲得 2元、第 3天獲得 4元、第 4天獲得 8元、依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍,如此進行到第 30天,試問這 30天所獲得的錢,總數最接近下列哪一個選項?
(1) 10,000
(2) 1,000,000
(3) 100,000,000
(4) 1,000,000,000
(5) 1,000,000,000,000

3.有兩組供機器運作的配件 A B,其單獨發生故障的機率分別為 0.1 0.15。只有當 A ,   B 都發生故障時,此機器才無法運作。 A B兩配件若用串接方式,前面故障會導致後面故障,但若後面故障則不會影響前面的故障情形;若用並列方式,則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形:
(一) 將 B 串接於 A 之後
(二) 將 A 串接於 B 之後
(三) 將 A ,   B 獨立並列
在情況(一)、(二)、(三)之下,機器無法運作的機率分別為 p 1 p 2 p 3
請選出正確的選項。
(1) p 1 > p 2 > p 3
(2) p 2 > p 1 > p 3
(3) p 3 > p 2 > p 1
(4) p 3 > p 1 > p 2
(5) p 1 = p 2 > p 3

4.一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 A B C D E F G H 及其內部,如右圖。已知目標函數 a x + b y + 3 (其中 a ,   b 為實數)的最大值只發生在 B點。請問當目標函數改為 3 b x a y 時,最大值會發生在下列哪一點?
(1) A
(2) B
(3) C
(4) D
(5) E

二、多選題(占30分)
說明:第5題至第10題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對者,得5分;答錯1個選項者,得3分;答錯2個選項者,得1分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。
5.小明參加某次路跑10公里組的比賽,下表爲小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數:

  完成時間 平均心率 步數
第一公里 5 : 00 161 990
第二公里 4 : 50 162 1000
第三公里 4 : 50 165 1005
第四公里 4 : 55 162 995
第五公里 4 : 40 171 1015
第六公里 4 : 41 170 1005
第七公里 4 : 35 173 1050
第八公里 4 : 35 181 1050
第九公里 4 : 40 171 1050
第十公里 4 : 34 188 1100

在這 10公里的比賽過程,請依據上述數據,選出正確的選項。
(1)由每公里的平均心率得知小明最高心率爲 188
(2)小明此次路跑,每步距離的平均小於 1公尺
(3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數爲正相關
(4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數爲正相關
(5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數爲負相關

6.設 f ( x ) 是首項係數為 1的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
(1) 若 f ( 2 ) = 0 ,則 x 2 可整除 f ( x )
(2) 若 f ( 2 ) = 0 ,則 f ( x ) 為整係數多項式
(3) 若 f ( 2 ) = 0 ,則 f ( 2 ) = 0
(4) 若 f ( 2 i ) = 0 ,則 f ( 2 i ) = 0
(5) 若 f ( 2 i ) = 0 ,則 f ( x ) 為整係數多項式

7.坐標平面上,在函數圖形 y = 2 x 上,標示 A B C D 四個點,其 x 坐標分別為 1 0 1 2。請選出正確的選項。
(1) 點 B 落在直線 A C 下方
(2) 在直線 A B 、直線 B C 、直線 C D 中,以直線 C D 的斜率最大
(3) A B C D 四個點,以點 B 最靠近 x
(4) 直線 y = 2 x y = 2 x 的圖形有兩個交點
(5) 點 A 與點 C 對稱於 y

8.坐標平面上有一雙曲線,其漸近線為 x y = 0 x + y = 0 。關於此雙曲線的性質,請選出正確的選項。
(1) 此雙曲線的方程式為 x 2 r 2 y 2 r 2 = 1 x 2 r 2 y 2 r 2 = 1 ,其中 r 為非零實數
(2) 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長
(3) 若點 ( a ,   b ) 為此雙曲線在第一象限上一點,則當 a > 1000 時, a b < 1
(4) 若點 ( a ,   b ) ,   ( a ' ,   b ' ) 為此雙曲線在第一象限上兩點且 a < a ' ,則 b < b '
(5) 此雙曲線同時對稱於 x 軸與 y

9.如圖,以 M 為圓心、 M A ¯ = 8 為半徑畫圓, A E ¯ 為該圓的直徑, B C D三點皆在圓上,且 A B ¯ = B C ¯ = C D ¯ = D E ¯ 。若 M D = 8 ( cos ( θ + 90 ° ) ,   sin ( θ + 90 ° ) ) 。請選出正確的選項。
(1) M A = 8 ( cos θ ,  sinθ )
(2) M C = 8 ( cos ( θ + 45 ° ) ,  sin ( θ + 45 ° ) )
(3) (內積) M A M A = 8
(4) (內積) M B M D = 0
(5) B D = 8 ( cos θ + cos ( θ + 90 ° ) ,  sinθ + sin ( θ + 90 ° ) )

10.某一班共有 45人,問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有 35人有手機,而有 24人有平板電腦。設:
A為同時有手機與平板電腦的人數
B為有手機,但沒有平板電腦的人數
C為沒有手機,但有平板電腦的人數
D為沒有手機,也沒有平板電腦的人數
請選出恆成立的不等式選項。
(1) A B
(2) A C
(3) B C
(4) B D
(5) C D

第貳部分:選填題(占50分)
說明:
1.第A至J題,將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(11–37)。2.每題完全答對給5分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A.如圖,老王在平地點 A 測得遠方山頂點 P 的仰角為 13 ° 。老王朝著山的方向前進 37公丈後來到點 B ,再測得山頂點 P 的仰角為 15 ° 。則山高約為 ----公丈。(四捨五入至個位數, tan 13 ° 0.231 tan 15 ° 0.268

B.不透明袋中有 3 3紅共 6個球,球大小形狀相同,僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、戊 5人依甲第一、乙第二、……、戊第五的次序,從袋中各取一球,取後不放回。試問在甲、乙取出不同色球的條件下,戊取得紅球的機率為---- 。(化為最簡分數)

C.小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種8盆,可以不必擺滿,並且每種花至少一盆,則小燦買盆栽的方法共有---- 種。

D.平面 x y + z = 0 與三平面 x = 2 x y = 2 x + y = 2 分別相交所得的三直線可圍成一個三角形。此三角形之周長化成最簡根式,可表為 a b + c d ,其中 a ,   b ,   c ,   d 為正整數且 b < d ,則 a = ---- , b = ---- , c = ---- , d = ---- 。

E.坐標平面上,直線 L 1 L 2 的方程式分別為 x + 2 y = 0 3 x 5 y = 0 。為了確定平面上某一定點 P 的坐標,從 L 1 上的一點 Q 1 偵測得向量 Q 1 P = ( 7 , 9 ) ,再從 L 2 上的點 Q 2 偵測得向量 Q 2 P = ( 6 , 8 ) ,則 P 點的坐標為 ---- 。

F.小華準備向銀行貸款 3 百萬元當做創業基金,其年利率爲 3 % ,約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利(每年複利一次)計息還款,但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下,小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 ---- 元。

G.某一公司,有 A B C 三個營業據點,開始時各有 36 位營業員,為了讓營業員了解各據點業務狀況,所以進行兩次調動。每次調動都是:
將當時 A 據點營業員中的 1 6 調到 B 據點、 1 6 調到 C 據點;
將當時 B 據點營業員中的 1 6 調到 A 據點、 1 3 調到 C 據點;
將當時 C 據點營業員中的 1 6 調到 A 據點、 1 6 調到 B 據點。
則兩次的調動後, C 據點有 ---- 位營業員。

H.有一底面為正方形的四角錐,其展開圖如下圖所示,其中兩側面的三角形邊長為 3 4 5 ,則此角錐的體積為 ---- 。(化為最簡根式)

I.在空間中,一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 θ 的正切值 tan θ 。若一金字塔(底部為一正方形,四個斜面為等腰三角形)的每一個斜面的坡度皆為 2 5 ,如圖。則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為 ---- 。(化為最簡分數)

J.下圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時,將方向盤轉動到極限,以低速讓汽車進行轉向圓周運動,汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑,如圖中的 B C ¯ 即是。已知在低速前進時,圖中 A 處的輪胎行進方向與 A C ¯ 垂直, B 處的輪胎行進方向與 B C ¯ 垂直。在圖中,已知軸距 A B ¯ 2.85 公尺,方向盤轉到極限時,輪子方向偏了 28 度,試問此車的迴轉半徑 B C ¯ 為 ---- 公尺。(小數點後第一位以下四捨五入, sin 28 ° 0.4695 , cos 28 ° 0.8829

參考公式及可能用到的數值
 

附檔:-----------------------------------
03-104學測數學定稿.docx