大學入學考試中心
104學年度學科能力測驗試題
數學考科
第壹部分:選擇題(占50分)
一、單選題(占20分)
說明:第1題至第4題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得5分;答錯、未作答或畫記多於一個選項者,該題以零分計算。
1.每週同一時間點記錄某植物的成長高度,連續五週的數據為
。
請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子?
(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) ,
(5) ,
2.第天獲得元、第天獲得元、第天獲得元、第天獲得元、依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍,如此進行到第天,試問這天所獲得的錢,總數最接近下列哪一個選項?
(1) 元
(2) 元
(3) 元
(4) 元
(5) 元
3.有兩組供機器運作的配件 、,其單獨發生故障的機率分別為、。只有當都發生故障時,此機器才無法運作。 、兩配件若用串接方式,前面故障會導致後面故障,但若後面故障則不會影響前面的故障情形;若用並列方式,則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形:
(一) 將 串接於 之後
(二) 將 串接於 之後
(三) 將 獨立並列
在情況(一)、(二)、(三)之下,機器無法運作的機率分別為 、 、 。
請選出正確的選項。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形及其內部,如右圖。已知目標函數 (其中為實數)的最大值只發生在點。請問當目標函數改為 時,最大值會發生在下列哪一點?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
二、多選題(占30分)
說明:第5題至第10題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對者,得5分;答錯1個選項者,得3分;答錯2個選項者,得1分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。
5.小明參加某次路跑10公里組的比賽,下表爲小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數:
|
完成時間 |
平均心率 |
步數 |
第一公里 |
|
|
|
第二公里 |
|
|
|
第三公里 |
|
|
|
第四公里 |
|
|
|
第五公里 |
|
|
|
第六公里 |
|
|
|
第七公里 |
|
|
|
第八公里 |
|
|
|
第九公里 |
|
|
|
第十公里 |
|
|
|
在這公里的比賽過程,請依據上述數據,選出正確的選項。
(1)由每公里的平均心率得知小明最高心率爲
(2)小明此次路跑,每步距離的平均小於公尺
(3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數爲正相關
(4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數爲正相關
(5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數爲負相關
6.設 是首項係數為的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
(1) 若 ,則 可整除
(2) 若 ,則 為整係數多項式
(3) 若 ,則
(4) 若 ,則
(5) 若 ,則 為整係數多項式
7.坐標平面上,在函數圖形 上,標示 、 、 、 四個點,其 坐標分別為 、、、。請選出正確的選項。
(1) 點 落在直線 下方
(2) 在直線 、直線 、直線 中,以直線 的斜率最大
(3) 、 、 、 四個點,以點 最靠近 軸
(4) 直線 與 的圖形有兩個交點
(5) 點 與點 對稱於 軸
8.坐標平面上有一雙曲線,其漸近線為 和 。關於此雙曲線的性質,請選出正確的選項。
(1) 此雙曲線的方程式為 或 ,其中 為非零實數
(2) 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長
(3) 若點為此雙曲線在第一象限上一點,則當 時,
(4) 若點為此雙曲線在第一象限上兩點且 ,則
(5) 此雙曲線同時對稱於 軸與 軸
9.如圖,以 為圓心、 為半徑畫圓, 為該圓的直徑, 、 、三點皆在圓上,且 。若 。請選出正確的選項。
(1)
(2)
(3) (內積)
(4) (內積)
(5)
10.某一班共有人,問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有人有手機,而有人有平板電腦。設:
為同時有手機與平板電腦的人數
為有手機,但沒有平板電腦的人數
為沒有手機,但有平板電腦的人數
為沒有手機,也沒有平板電腦的人數
請選出恆成立的不等式選項。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
第貳部分:選填題(占50分)
說明:
1.第A至J題,將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(11–37)。2.每題完全答對給5分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
A.如圖,老王在平地點 測得遠方山頂點 的仰角為。老王朝著山的方向前進公丈後來到點 ,再測得山頂點 的仰角為 。則山高約為 ----公丈。(四捨五入至個位數, , )
B.不透明袋中有白紅共個球,球大小形狀相同,僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、戊人依甲第一、乙第二、……、戊第五的次序,從袋中各取一球,取後不放回。試問在甲、乙取出不同色球的條件下,戊取得紅球的機率為---- 。(化為最簡分數)
C.小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多能種8盆,可以不必擺滿,並且每種花至少一盆,則小燦買盆栽的方法共有---- 種。
D.平面 與三平面 , ,分別相交所得的三直線可圍成一個三角形。此三角形之周長化成最簡根式,可表為 ,其中 為正整數且 ,則 ---- , ---- , ---- , ---- 。
E.坐標平面上,直線 與 的方程式分別為 與。為了確定平面上某一定點 的坐標,從 上的一點 偵測得向量 ,再從 上的點 偵測得向量 ,則 點的坐標為 ---- 。
F.小華準備向銀行貸款百萬元當做創業基金,其年利率爲,約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利(每年複利一次)計息還款,但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下,小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 ---- 元。
G.某一公司,有、、三個營業據點,開始時各有位營業員,為了讓營業員了解各據點業務狀況,所以進行兩次調動。每次調動都是:
將當時據點營業員中的調到據點、調到據點;
將當時據點營業員中的調到據點、調到據點;
將當時據點營業員中的調到據點、調到據點。
則兩次的調動後,據點有 ---- 位營業員。
H.有一底面為正方形的四角錐,其展開圖如下圖所示,其中兩側面的三角形邊長為,,,則此角錐的體積為 ---- 。(化為最簡根式)
I.在空間中,一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 的正切值 。若一金字塔(底部為一正方形,四個斜面為等腰三角形)的每一個斜面的坡度皆為 ,如圖。則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為 ---- 。(化為最簡分數)
J.下圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時,將方向盤轉動到極限,以低速讓汽車進行轉向圓周運動,汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑,如圖中的 即是。已知在低速前進時,圖中 處的輪胎行進方向與 垂直, 處的輪胎行進方向與 垂直。在圖中,已知軸距 為公尺,方向盤轉到極限時,輪子方向偏了度,試問此車的迴轉半徑 為 ---- 公尺。(小數點後第一位以下四捨五入, )
參考公式及可能用到的數值
附檔:-----------------------------------