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發佈時間:2018-02-28 (更新:2018-02-28 14:15)發佈者:hurt
標題:105 學年度學科能力測驗試題 數學考科 MathML 版

大學入學考試中心 105學年度學科能力測驗試題 數學考科

第壹部分:選擇題(占65分)

一、單選題(占30分)

說明:第1題至第6題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得5分;答錯、未作答或畫記多於一個選項者,該題以零分計算。

1.設 f ( x ) 為二次實係數多項式,已知 f ( x ) x = 2 時有最小值 1 f ( 3 ) = 3 。請問 f ( 1 ) 之值為下列哪一選項?
(1) 5
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 條件不足,無法確定

2.請問 sin 73 ° sin 146 ° sin 219 ° sin 292 ° sin 365 ° 這五個數值的中位數是哪一個?
(1) sin 73 °
(2) sin 146 °
(3) sin 219 °
(4) sin 292 °
(5) sin 365 °

3.坐標平面上兩圖形 Γ 1 , Γ 2 的方程式分別為: Γ 1 : ( x + 1 ) 2 + y 2 = 1 Γ 2 : ( x + y ) 2 = 1 。請問 Γ 1 , Γ 2 共有幾個交點?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 0

4.放射性物質的半衰期 T定義為每經過時間 T,該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質 A B,開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍,而 120小時後兩種物質的質量相同。已知物質 A 的半衰期為 7.5小時,請問物質 B 的半衰期為幾小時?
(1) 8小時
(2) 10小時
(3) 12小時
(4) 15小時
(5) 20小時  

5.坐標空間中一質點自點 P ( 1 , 1 , 1 ) 沿著方向 a = 1 , 1 , 1 等速直線前進,經過 5秒後剛好到達平面 x y + 3 z = 28 上,立即轉向沿著方向 b = 2 , 2 , 1 依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 x = 2 上?
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 永遠不會到達

6.設 a n 為一等比數列。已知前十項的和為 k = 1 10 a k = 80 ,前五個奇數項的和為 a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 120 ,請選出首項 a 1 的正確範圍。
(1) a 1 < 80
(2) 80 a 1 < 90
(3) 90 a 1 < 100
(4) 100 a 1 < 110
(5) 110 a 1

二、多選題(占35分)說明:第7題至第13題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對者,得5分;答錯1個選項者,得3分;答錯2個選項者,得1分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。

7.下列各方程式中,請選出有實數解的選項。
(1) x + x 5 = 1
(2) x + x 5 = 6
(3) x x 5 = 1
(4) x x 5 = 6
(5) x x 5 = 1

8.下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表,例如:甲商場奇異果價格「 35元/一袋 2顆」表示每一袋有 2顆奇異果,價格 35元。

甲商場售價

奇異果價格 20 元/一袋 1 35 元/一袋 2 80 元/一袋 5 100 元/一袋 6
蘋果價格 45 元/一袋 1 130 元/一袋 3 260 元/一袋 6 340 元/一袋 8

乙商場售價

奇異果價格 18 元/一袋 1 50 元/一袋 3 65 元/一袋 4 95 元/一袋 6
蘋果價格 50 元/一袋 1 190 元/一袋 4 280 元/一袋 6 420 元/一袋 10

依據上述數據,請選出正確的選項。
(1) 在甲商場買一袋 3顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果
(2) 乙商場的奇異果售價,一袋裝越多顆者,其每顆單價越低
(3)若只想買奇異果,則在甲商場花 500元最多可以買到 30顆奇異果
(4) 如果要買 12顆奇異果和 4顆蘋果,在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額
(5)無論要買多少顆蘋果,在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額

9.下列各直線中,請選出和 z 軸互為歪斜線的選項。
(1) L 1 :   { x = 0 z = 0
(2) L 2 :   { y = 0 x + z = 1
(3) L 3 :   { z = 0 x + y = 1
(4) L 4 :   { x = 1 y = 1  
(5) L 5 :   { y = 1 z = 1

10.設 a b c皆為正整數,考慮多項式 f ( x ) = x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + 2 。請選出正確的選項。
(1) f ( x ) = 0 無正根
(2) f ( x ) = 0 一定有實根
(3) f ( x ) = 0 一定有虛根
(4) f ( 1 ) + f ( 1 ) 的值是偶數
(5) 若 a + c > b + 3 ,則 f ( x ) = 0 有一根介於 1 0之間

11.一個 41人的班級某次數學考試,每個人的成績都未超過 59分。老師決定以下列方式調整成績:原始成績為 x分的學生,新成績調整為 40 log 10 ( x + 1 10 ) + 60 分(四捨五入到整數)。請選出正確的選項。
(1) 若某人原始成績是 9分,則新成績為 60
(2) 若某人原始成績超過 20分,則其新成績超過 70
(3) 調整後全班成績的全距比原始成績的全距大
(4)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數,則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數
(5)已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均,則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均(四捨五入到整數)

12.在 Δ A B C 中,已知 A = 20 ° A B ¯ = 5 B C ¯ = 4 。請選出正確的選項。
(1) 可以確定 B 的餘弦值
(2) 可以確定 C 的正弦值
(3) 可以確定 Δ A B C 的面積
(4) 可以確定 Δ A B C 的內切圓半徑
(5) 可以確定 Δ A B C 的外接圓半徑

13.甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 A B C D 四位女生一起出遊,他們約定讓四位女生依照 A B C D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了 B 認得甲的機車鑰匙,並且絕對不會選取之外,每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
(1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率
(2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率
(3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率
(4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率
(5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率  

第貳部分:選填題(占35分)

說明:
1.第A至G題,將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(14–31)。
2.每題完全答對給5分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A.考慮每個元(或稱元素)只能是0或1的 2 × 3 階矩陣,且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零,這樣的矩陣共有 ---- 個。

B.坐標平面上 O 為原點,設 u = 1 , 2 v = 3 , 4 。令 Ω 為滿足 O P = x u + y v 的所有點 P 所形成的區域,其中 1 2 x 1 3 y 1 2 ,則 Ω 的面積為 ---- 平方單位。(化成最簡分數)

C.從橢圓 Γ 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線,交橢圓於四點。已知連此四點得一個邊長為2的正方形,則 Γ 的長軸長為 ---- 。

D.線性方程組 { x + 2 y + 3 z = 0 2 x + y + 3 z = 6 x y = 6 x 2 y z = 8 經高斯消去法計算後,其增廣矩陣可化簡為 [ 1 0 a 0 1 c 0 0 0 0 0 0 b d 0 0 ] ,則 a = ---- 、 b = ---- 、 c = ---- 、 d = ---- 。

E.設 a 為一實數,已知在第一象限滿足聯立不等式 { x 3 y a x + 2 y 14 的所有點所形成之區域面積為 213 5 平方單位,則 a = ---- 。

F.投擲一公正骰子三次,所得的點數依序為 a , b , c 。在 b 為奇數的條件下,行列式 a b b c > 0 的機率為 ---- 。(化成最簡分數)

G.如右圖所示, A B C D E F G H 為一長方體。若平面 B D G 上一點 P 滿足 A P = 1 3 A B + 2 A D + a A E ,則實數 a = ---- 。(化成最簡分數)

參考公式及可能用到的數值

附檔:-----------------------------------
03-105學測數學_定稿.docx